Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

Д о п у с т и м,

что д л я

рассматриваемой

физической

системы

известно

в ы р а ж е н и е потенциальной

энергии

U .

П р е д п о л о ж и м

далее,

что из

полной энергии U нам удалось

выделить

основ­

ной

член

U 0

и

добавочный

U ' , причем U ' <

U 0

. Таким

образом,

и =

и 0 + и ' .

и 0

обычно н а з ы в а ю т нулевым

приближением, а

U ' — функцией

возмущения .

З а п и с ы в а е м

уравнение

Шрединге -

ра д л я

нулевого

приближения:

A f " o + ^ L ( E o - U 0 ) W 0 = : 0 .

(199)

Н а х о д и м

точное

решение уравнения

(199). Если

это

не

удает­

ся,

тогда

U 0

делим на основной и дабовочный

члены

и

ищем

снова

точное

решение

в ы ш е у к а з а н н ы м путем.

В

конце

концов

ний Wo 1,

^02, •-, ^ок,

Von

и

спектр

собственных

значений

энергии

Е 0 і

Б о г , Е 0

к , Е 0 п .

Следующий

этап

заключается

в

том,

чтобы

найти

поправки

к

энергии

и ^ - ф у н к ц и и

в

первом

приближении . Р е ш и м

эту

з а д а ч у

д л я к-го

состояния.

П о л о ж и м

*"к =

^ок +

^ к . Е к

=

E n k +

ек ,

где

Ч^к

и

Е0 к — у ж е

известные

решения

нулевого

приближения, a Ч Ѵ

и

ек — искомые

поправ­

ки

в

следующем

приближении .

Подставим

Yk,

E k H U = U 0

+

- f

U '

в

уравнение

Ш р е д и н г е р а

(199),

отбросим

в нем

члены

вестные

Ѵ - функции,

а

в правой—• известные:

д

^

+

8 ^ n ( E o k

_

^

=

8 ^

( и , _

^

( 2 0 0 )

П е р е д

нами

неоднородное

д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е

уравнение,

его

решение

складывается

из общего

решения

однородного

и

ча­

стного —• неоднородного.

Что

касается

первого,

то оно

у ж е

из­

вестно,

это

собственная

функция

д л я

невозмущенной

задачи

Vok,

ибо

уравнение

Д ^ ^ +

^ - ^ - ( E o k

— U 0 ) WL == 0

фактически

h2

совпадает

с

уравнением

(199),

когда

Е 0 =

Е0 к,

следовательно,

и решения их одни и те

ж е .

Решение неоднородного уравнения, как известно из матема ­

тики,

существует л и ш ь

в том случае,

если

его

п р а в а я

часть

ортогональна

решению

однородного

уравнения,

т. е.

выполне­

но условие

-f-co

-j-oo

^

J (W -

ek ) W^dV =

( j

U'SF^dV -

ek ) =

0.

(201 )

оо

интеграл

j

s k 4 ?2k dV .

И з

равенства

(200)

находим

Т.кР ЧѴ.

(202)

П о п р а в к а

к

энергии

в

данном

состоянии

равна

усредненной

функции возмущения по невозмущенной фукции

этого

состоя­

ния. В силу особой важности приведенную

формулировку

на­

зывают теоремой об энергии возмущения .

Функцию

Ч*к опре­

деляют следующим образом . П р а в у ю

часть

уравнения

(200),

теперь

у ж е

полностью

известную,

р а з л а г а ю т

в

р я д

Фурь е

по

ортонормированным

функциям

невозмущенных

состояний

и

n

получают

(U/ — £к ) Wok

=

\ ^

alkW0[,

г Д е

а ' к

находится

обычным способом, т. е. путем

интегрирования

обеих

частей

равенства,

умноженных

на

W0i, при

этом

+°°

Щ к =

^

J ( U ' ~ £ к ) V ° < d V '

е С Л И

1

= к ' а * =

0

в силу

условия

(201),

если

ж е /

ф

к,

а1к

=-^-^\J,xFokWQ[àV.

— оо

З а т е м

^Fk

представляют

в

виде

ряда

по

тем ж е

функциям:

оо

= 2

b/k^o*'

подставляют

оба

ряда

в в ы р а ж е н и е

(200)

и,

i= i

приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях,

опре­

деляют

b,k

=

—

^

-,

Ь„ =

0.

(203)

Тем самым

в первом

приближении з а д а ч а

полностью

решена .

В случае

необходимости таким

ж е способом

находят и

второе

жение дают

настолько полные результаты,

что

необходимость

в следующих

приближениях

обычно

отпадает .

С л о ж н е е

обстоит

дело,

когда система в вырожденно м со­

стоянии. Г л а в н а я трудность

заключается в

том,

что ^ - ф у н к ­

ции

неортогональны,

однако всегда

возможно

о б р а з о в а т ь из

них

линейные ортогональные

комбинации,

а

затем применить

ту ж е

канву

рассуждений, что и в предыдущей задаче . П о з ж е ,

р а с с м а т р и в а я

молекулу водорода,

мы применим

описанный

метод

д л я получения конкретных результатов .

СИСТЕМЫ ИЗ БОЛЬШОГО ЧИСЛА ЧАСТИЦ

Д л я систем, образованных из

многих частиц,

в квантовой

ности. П р е ж д е всего

отметим принцип

тождественности. В си­

стеме из одинаковых частиц, например

только

из

электронов,

невозможно отличить

одну частицу от

другой.

Это

ясно из са­

тельно, г|)-функция состояния относится ко

всей системе

в

це­

лом, поэтому

вероятность

нахождения, вычисленная в

какой-

нибудь

точке

пространства Р,

с

одинаковым

правом

может

быть отнесена

к

той или

другой

частице,

а

это

значит,

что

м е ж д у

ними нет

различия .

Тот

ж е вопрос

м о ж н о

решить

не­

перейдут в

положения Х і 1 и

хг1 . Т а к к а к

микрочастицы

подчи­

няются соотношению неопределенности, мы не м о ж е м

в

прин­

ципе рассчитать их траектории и поэтому

не м о ж е м

решить,

ка­

к а я

из

двух

частиц

о к а ж е т с я ,

с к а ж е м ,

в

точке

Х і 1

,

следова­

тельно, они тождественны .

Д р у г о е

замечательное

свойство

микрочастиц

было

открыто

с помощью

квантового оператора перестановки Р^.

Сущность

его действия на -ф-функцию сводится к тому,

что

л ю б а я

п а р а

частиц обменивается состояниями. Рассмотрим систему

из двух

частиц.

Пусть

qi — набор

п а р а м е т р о в возмущенного

состояния,

включая

спин,

или,

к а к

принято

говорить,

совокупность

обоб­

щенных координат данного состояния, a

qk — обобщенные

ко­

ординаты

другого

состояния, Ф [ q , ( 1 ) , q^2 ']

— волновая

функция

системы,

когда

первая

частица

в

состоянии

q;,

а

вторая — в

состоянии

qk.

Применив

к

[ q j 1 ' ,

qW] оператор

перестановки,

по

смыслу

мы д о л ж н ы

получить

функцию

ф [q<2 ) ,

q k l f

] ,

умно-

л

Р . к Ф К ( , ) ,

q k 2 , ] = ^ [ q i 2 , . q k ,

) ] .

л

(204)

У м н о ж и м

равенство

(204)

снова

на оператор

рік,

тогда

О fa}'»,

qf e 2 ) ] =

[ q | 2 ) , qL"]

= Щ [q!»,

qj2 !] ^

Ф

q k 2 ) l -

(205)

П р а в а я

часть

(205)

д о л ж н а тождественно

совпадать

с

[q, ( 1 ) ,

q k 2 ) ] ,

так

как, д в а ж д ы

поменяв

пару

состояний,

мы

вернемся

к начальной ситуации. Отсюда

з а к л ю ч а е м :

оператор

переста­

новки имеет два собственных значения К=

± 1 .

Этот

неслож­

ный

расчет

приводит

к

открытию

двух

классов

г|з-функций и

соответственно

двух

видов

микрочастиц,

^ - функции,

которые

не изменяют знака, когда пара частиц обменивается

состояни­

ями,

называются

симметричными,

а

функции,

изменяющие

знак,

называются

антисимметричными.

Математически эти

свойства в ы р а ж а ю т с я

очень

просто:

[qP>, q^2 ) ] =

<\ [q!2>,

q ^ ] ;

ф в

[qf'»,

qL2 , I =

- 1 «

№

Q ^ l -

(206)

Сформулируем

некоторые

очевидные

п р а в и л а

симметрии:

ф-функция

данного

класса,

у м н о ж е н н а я

на

постоянный

или

переменный множитель одного знака, — функция

того

ж е

клас ­

са; произведение

симметричной

функции

на

антисимметричную

есть

функция

антисимметричная;

сумма

двух

функций одного

класса — функция

того ж е

класса,

а

произведение

двух

функ­

ций

одного

класса — всегда

функция

симметричная .

П о л ь з у я с ь

правилами

симметрии,

д о к а ж е м

в а ж н у ю

теорему:

симметрия

ф-функции

со

временем

не

меняется,

следовательно,

функция

одного

к л а с с а

не

м о ж е т

обратиться

в

функцию

другого

класса .

П р е д в а р и т е л ь н о

убедимся

в

том,

что

оператор

Гамильтона

л

симметричный. H равен сумме операторов кинетической и /по­

тенциальной

энергий

(U +

T ) ,

первый

из них

в

свою

очередь

равен сумме

к в а д р а т о в

операторов

проекций

импульса,

поде-

л

ленных

на

постоянное 2 т * ,

следовательно, оператор

Т

симмет­

ричный,

и его

действие

не

может нарушить

симметрии

функ-

л

ции

(вспомним

результат

действия

Put ).

Операѵор

U

т а к ж е

симметричный,

. так

как

потенциальная

энергия

зависит

лишь

от

взаимного

расстояния

м е ж д у

частицами

r i k =

г/Л (хі — x k

) 2 4 - (у, — y k

) 2

4-

(z, —

z k ) 2 ,

которое

симметрично

относительно

Л

функ-

координат, поэтому и Ü не меняет симметрии

л

ций. Т а к и м

образом,

H т а к ж е

сохраняет

симметрию

функции

•ф. П о л ь з у я с ь

уравнением

Шрёдингера,

определим

симметрию

д и ф ф е р е н ц и а л а

ф-функции.

d ' h = ^ H ' { i d t .

(207)