Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

л

П о с к о л ь ку в правой

части в ы р а ж е н и я

(207)

Нгр умножено на

постоянное

число

—

и

переменное

dt

с

одним

знаком

(dt

всег-

i h

да

п о л о ж и т е л ь н о ) ,

то

симметрия

di|H т а к а я

же,

ка к

у

функ­

ции

г|з.

Пусть

в

некоторый

момент t,

ф (t) имела

какую-то

симмет­

рию, в момент t -J- dt

ее в ы р а ж е н и е

будет

определяться

из

уравнения

Шредингера

ф (t + dt) =

(t) - f - d à t ,

но

по

д о к а з а н ­

ному симметрия членов суммы одинакова,

поэтому и

вся

сум­

ма,

т. е. ф (t + dt) , п р и н а д л е ж и т

к

тому ж е классу

симметрии,

что и ^ ( t ) .

Отсюда

и

вытекает

закон

сохранения

симметрии

•ф-функции.

Поскольку

ф-функция описывает состояния частиц,

мы

д о л ж н ы

заключить:

категория

частиц,

ф-функции

которых

п р и н а д л е ж а т данному

классу симметрии,

не

может перейти в

категорию

частиц,

описываемых

ф-функциями

другого

класса

симметрии, т. е. существуют два

сорта

микрочастиц,

типовая

принадлежность

которых

не может

изменяться .

Частицы,

опи­

торых

спин полуцелый

(4 = 1/2, 3/2,

5/2), п р и н а д л е ж а т к фер-

мионам, а частицы с целым спином

(4 =

0,

1, 2)

относятся к

бозонам, типичными представителями которых я в л я ю т с я

фото­

ны, я - мезоны

(4 =

0),

я д р а с

одинаковой

четностью

ка к

нейт­

ронов, та к и протонов и другие

частицы.

ПРИНЦИП ПАУЛИ

Швейцарский физик В. П а у л и ,

один

из

создателей

кван ­

товой

механики,

эмпирически и теоретически установил прин­

цип, справедливый

дл я фермионов . Он имеет

несколько

форму ­

лировок. Вот одна

из

них: л ю б ы е

два одинаковых

фермиона

не могут быть в тождественно

р а в н ы х состояниях,

т. е.

чет­

верки

чисел,

х а р а к т е р и з у ю щ и е

их

состояния

(п,

/,

mi,

m s

) , не

могут

полностью

совпадать .

Д о к а ж е м этот

принцип

от

про­

тивного. Допустим, дв а одинаковых фер;миона,

например дв а

электрона, имеют

тождественные состояния,

тогда

обобщенные

координаты

qj'> и

qk2>

(или, что эквивалентно,

четыре

квантовых

числа)

в точности

р а в н ы друг

другу

q j ' ) = qk2> = q. П р и н и м а я во

вн и м а н и е, что их функции состояния антисимметричны,

а ча­

стицы тождественны, согласно

в ы р а ж е н и ю

(206)

получаем

H q U ) ,

q(2)]

=

- < H q ( 2 ) ,

q ( ] ) ] .

(208)

О д н а к о

это

равенство

имеет

л и ш ь

одно

решение

(гр =

0),

а это

значит,

что

н а ш е

допущение

было

неверным,

точнее

нереаль­

ным.

Д а д и м

еще

одну формулировку

принципа

П а у л и .

Предва ­

рительно введем новое понятие.

Вероятность

того, что частица о к а ж е т с я

в

некотором

интер­

вале координат

и

импульсов,

пропорциональна

произведению

интервалов всех проекций импульса и всех

координат:

ApiAxApyAyApzAz.

В

статистической

физике

это

произведение

обозначают

символом

АГ

и

н а з ы в а ю т элементом

фазового

объема

в

пространстве

координат

и

импульсов (см. об этом в

нию неопределенностей

Гейзенберга, АГ имеет низший предел

АГо =

h3 . Принцип запрета П а у л и гласит: в наименьшем

эле­

менте

фазового объема

h 3 самое большее может оказаться

два

ся, эта

формулировка

равноценна

первой,

но из нее удобнее из­

влечь

некоторые физические следствия. З а п и ш е м элемент

фа­

зового

объема

АГ в

виде

произведения

импульсного

объема

А Г Р =

ApxApyAßz на обычный, пространственный

или

конфигу­

рационный: AVk = AxAyAz.

Н а и б о л ь ш е е

число

фермионов в

объеме АГ в соответствии

с принципом П а у л и

ДГ

2ДГрЛѴк

N M a K C

=

2 Т з - =

; і з

.

(209)

Следовательно,

если число

частиц

в системе N

остается

неиз­

гласно

в ы р а ж е н и ю

(209)

будет

увеличиваться

импульсный

объем,

т. е. фактически импульсы

частиц,

а значит, и

их ки­

нетическая энергия.

Н о с

возрастанием

положительной

энер­

гии системы начнут

расти

силы

отталкивания,

стремящиеся

противодействовать

с ж а т и ю . Увеличение энергии отталкивания

при уменьшении объема системы фермионов есть одно

из в а ж ­

нейших следствий

принципов П а у л и и

Гейзенберга.

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ МЕНДЕЛЕЕВА

Периодический

закон, открытый

Менделеевым,

является

числа Z, то их химические и физические

свойства будут перио­

дически повторяться . К в а н т о в а я механика

объясняет эту пери­

туру электронных

оболочек м о ж н о выяснить, исходя

из

теории

д в и ж е н и я системы электронов

в электрическом поле

ядра .

Эта

з а д а ч а является

чрезвычайно

трудной из-за большого

числа

электронов, которые взаимодействуют не только с

ядром,

но

нованными, во-первых, на

допущении о

дискретности состоя­

ний электронов

в атомах,

во-вторых,

на

принципе П а у л и .

Менделеев

расположил

все элементы

в ряд,

приписав

к а ж ­

дому элементу

порядковый

номер Z.

В

общем

оказалось,

что

рых

местах

т а б л и ц ы н а б л ю д а ю т с я

аномалии, т. е. элемент с

большим атомным весом о к а з ы в а л с я перед элементом с

мень­

шим

весом.

Р а с п о л а г а я

элементы

в ряд, Менделеев

большее

значение

придавал

периодичности

химических

свойств,

чем

принципу

возрастания атомных

весов. Р е з е р ф о р д ,

Мозли,

Ч а д -

вик

открыли

физический

смысл

порядкового номера элемента Z.

Число Z

в ы р а ж а е т

з а р я д ядра,

а в том случае, если

атом

ней­

лочке

атома . П о с л е открытия нейтрона

советский

физик

И в а -

ченко

и

немецкий

ученый

Гейзенберг выдвинули протонно-ней-

тронную

гипотезу

строения ядра .

Эта

гипотеза

в

настоящее

время считается доказанной; по ней

порядковый

номер

элемен­

та показывает

количество

протонов

в ядре .

Существуют

атомы,

ядра

которых

с о д е р ж а т

одинаковое число

протонов,

но

раз ­

личное

число

нейтронов.

Такие атомы имеют одинаковый по­

рядковый номер Z,

но разные атомные

веса

А, они

называются

Совокупность всех

изотопов и

составляет химический элемент.

Д л я устойчивых

ядер

A «

2Z. Отсюда понятно, тючему в ряду,

расположенном

по

возрастанию

Z, к а к

правило,

атомный

вес А

т а к ж е

возрастает при

переходе

от одного элемента

к другому.

Ч т о б ы разобраться

в

особенностях строения

электронных

оболочек атомов, в

их

периодичности,

будем

представлять

себе

к а ж д ы й последующий

элемент о б р а з о в а н н ы м из предыдущего

путем

прибавления

к

ядру

одного протона,

соответствующего

числа

нейтронов

и

одного

электрона

к электронной

оболочке.

П р и распределении

электронов

по оболочке

будем

пользовать ­

стоянии,

характеризуемом

главным

квантовым

числом

п,

рав ­

ным единице. Н о

это не так.

Если

бы

все

электроны

в невозбужденном

атоме находились

на

одном

и

том

ж е энергетическом

уро'вне (на

самом

низком),

то

энергия,

необходимая д л я удаления

любого электрона

из

атома, была

бы

одна и та

же . У всех

атомов,

за исключением

число различных значений.

Следовательно, электроны в атоме не

находятся в одном и том

ж е

стационарном состоянии. Ч т о б ы

выяснить, как распределяются

электроны в атоме по состояни­

ям,

используем

вышеназванные

принципы П а у л и

и

минимума

энергии.

П е р в ы м

элементом

т а б л и ц ы

Менделеева

является

во­

дород. Он состоит, из одного

протона.

Вокруг

я д р а

д в и ж е т с я

электрон,

нормальное состояние

которого характеризуется глав ­

ным

квантовым

числом

n =

1.

Следовательно,

/ — О, т ; =

0,

m s =

+

xk.

Увеличивая з а р я д я д р а

на

+

е, мы

получаем

ядро

гелия. Та­

больше, чем

оболочка водорода. В состояние n = 1,

/ =

0,

m;

=

=

0

м о ж н о

поместить

2 электрона, если у них будут разные

спи­

ны.

И т а к , в

атоме гелия один электрон находится

в состоянии

n

=

1, /==0,

rfy =

0, m s

= Ѵг, а

второй в состоянии

n

=

1,

/

=

=

0,

гщ = 0,

m s =

—ХІ2-

Б о л ь ш е е

количество состояний

с

п = 1

атоме гелия k-оболочка заполнена, вместе

с тем закончен

пер­

вый период т а б л и ц ы Менделеева, состоящий всего из двух

эле­

ментов H и Не .

Увеличивая з а р я д

я д р а еще

на + е

и д о б а в л я я

один

элект­

рон

к электронной оболочке,

получаем

новый элемент

литий —

L i .

Так

как

k-оболочка

у ж е

заполнена,

то

третий электрон

на­

ходится

в

состоянии

n

= 2,

/ =

0, гщ =

0,

ms = -\-lh

или

— [ / 2 .

Группа состояний с n =

2 называется L-оболочкой. Таким

обра ­

зом,

у

L i начинает заполняться

L-оболочка.

Определяя

степень

ли, что всевозможных

состояний с

определенным

значением

главного квантового числа n может быть 2п 2 . Значит,

в L-обо-

лочке имеется 2 • 22 = 8

состояний. К а ж д у ю оболочку,

кроме

к-

оболочки, м о ж н о разделить на подоболочки. Подоболочкой

бу­

дем н а з ы в а т ь совокупность состояний

с одинаковыми

квантовы -

ми числами п и / . L-оболочка

имеет 2 подоболочки,

т а к к а к

при

п = 2 / может принимать

два

значения:

1 = 0, 1=1.

П р и

1 = 0

подоболочка называется

s-подоболочкой,

при

/ = 1

подоболочка

называется р-подоболочкой.

Следующий за литием

элемент — бериллий

Be. Н а его

элек­

оболочке.

С

орбитальным

квантовым

числом

I,

равным

нулю,

в к а ж д о й

оболочке

может

быть не более двух электронов:

(/

=

==0,

ті =

0,

m s =

+V2),

(/ = 0,

m; =

0, m s

=

— V2).

Следова ­

тельно, у

Be

заполнена

s-подоболочка.

П я т ы й элемент периодической

системы — бор

В.

Его

пять

электронов

следующим

образом

располагаются

на

оболочках:

два

электрона на

k-оболочке, два — на

s-подоболочке

L-оболоч-

ки и один электрон — на р-подоболочке

L-оболочки.

У С, N , О, F,

Ne идет

постепенное заполнение р-подоболоч-

ки.

В неоне

все

8

мест L-оболочки з а н я т ы

(2s — электрона

и

6р — электронов) .

Поэтому

неон — инертный

газ,

как

гелий;

на

нем

заканчивается

второй

период

т а б л и ц ы

Менделеева .

В

сле­

тронов, начинается

заполнение

оболочки

n =

3. Это

так называ ­

е м а я М - оболочка .

В

М - оболочке имеется всего

2 • 3 2

=

18 состояний

(/ =

0, / =

= 1,

1 — 2). Группа

состояний

с

/ = 0

и

1=1

аналогична

L-обо-

ляется, как и

Ne, инертным газом. Инертность аргона объясня ­

ется тем, что

в его внешней

оболочке, полностью

заполненной,

о к а з а л а с ь р-подоболочка.

Увеличивая

з а р я д ядра A r

на -4- е и д о б а в л я я к

электронным

отношении

атом К

вполне схож с

атомами L i

и

Na,

которые

имеют на

последней

оболочке один

s-электрон

(т.

е.

электрон,

равным

н у л ю ) .

Ч т о б ы объяснить свойства калия,

приходится

считать, что

его

последний

электрон

находится в

состоянии с

п =

4,

/ =

0.

И т а к ,

у

калия

не

заполнена

М - оболочка

и н а ч а л а

заполняться

новая,

так н а з ы в а е м а я N - оболочка .

Объясняется

т а к а я

ситуация

тем,

что

электрон

в

состоянии

n

=

4, / =

0

имеет

меньшую

энергию,

чем

электрон

в

состоянии

n

=

3,

1 =

2: E 4

s

<

E3 d. Такое

соотношение м е ж д у

энергиями

периоде т а б л и ц ы Менделеева не

18 элементов,

а

всего

л и ш ь

8,

у двух постепенно заполняется s-подоболочка,

у

шести

осталь­

ных — р-подоболочка. Следующий

за калием

элемент

кальций

Ca (z = 20). Спектроскопические

исследования

у к а з ы в а ю т ,

что