Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

Скачать файл (6,01Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.07.2024

Просмотров: 136

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

	ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
В о з ь м ем типичный модельный объект теории вероятностей —
игральную кость. Это кубик из			однородного м а т е р и а л а		с про
нумерованными	гранями	(рис.	30). Проведем серию	испытаний.
К а ж д о е из них	сводится	к п о д б р а с ы в а н и ю кубика в		одних и тех
ж е условиях, над ровной		поверхностью стола или		пола .	Ц е л ь


опытов — регистрировать ц и ф р ы на верх
ней грани и по р е з у л ь т а т а м находить								воз
м о ж н ы е закономерности . П е р в ы е							несколь
ко	опытов	показывают,			что	наверху с
одинаковым		успехом		может		появиться
л ю б а я из шести			цифр	«по	очереди»			или
«вне	очереди» и		ни одну		из	них	нельзя
о ж и д а т ь «по		з а к а з у » .		Итак,		при	м а л о м
числе испытаний			не о б н а р у ж и в а е т с я					ни
какой закономерности и нельзя предска
зать никакой результат . Это значит, что
поведение кости			носит	случайный			характер . В самом деле, хотя

мы и говорили об «одинаковых условиях» бросания, но такое


утверждение верно л и ш ь на		макроскопическом уровне,				да	и	то
отчасти. В	действительности на полет кости оказывает					влияние
множество	неконтролируемых	факторов: неравномерные				толчки
в момент	бросания, завихрения воздушных струй,			у д а р ы			пыли
нок, колебание давления, температуры и т. д. Все				эти	ф а к т о р ы
от опыта	к опыту менялись произвольным образом, предопре
д е л я я тем	самым и произвольность результата . Теперь проведем
серии опытов из большего числа			испытаний, например			из		60,
300 и 1000	испытаний. З а м е т и м ,		что доля появления		любой			из

цифр приблизительно составляет одну шестую общего числа

бросаний. Ч т о б ы

убедиться

этом,

достаточно

подсчитать

так

н а з ы в а е м ы е частоты событий,

т. е. отношения количеств

резуль

татов

одного типа

к о б щ е м у числу всех испытаний.

К примеру, если в серии из 60 испытаний цифра

1 появи

лась,

с к а ж е м , 8 раз,

цифра

2 — 1 1

раз, 3 — 9

раз,

4 — 13

р а з ,

5 — 9

раз, 6 — 10

раз,

то

соответствующие

частоты

равны

8 /бо,

1 Ѵбо.9/бо, 13/бо> 9/бо, 1 0 /ео- Л е г к о

видеть, что они действительно

близки

к Ѵб . В серии из большего числа испытаний, например

из

300,

частоты о к а ж у т с я

среднем

б л и ж е к '/б,

чем в

серии 60 ис

пытаний, а в серии из 1000

испытаний — еще

б л и ж е .

Следова

тельно, частоты событий перестают зависеть от числа

испыта

ний, когда это число очень

велико. Аналогичная

закономерность

оказывается справедливой д л я всех случайных событий, незави симо от их физической природы . Это обстоятельство приводит

109

нас к следующему предельному понятию. Отношение числа по явлений случайного события А к общему числу всех испытаний стремится к определенному пределу, который называется веро ятностью события А, если число испытаний стремится к беско нечности. Обозначим символом п А число опытов, где появляется событие А, символом N — число всех опытов, тогда вероятность события

W = l i m ^ .

(231)

Хотя

вероятность

события

частота

его появления

численно

с в я з а н ы соотношением

(231), но как

понятия — это разные

ве

щи. Частота события не

может

быть

определена без

измерений,

в то время как вероятность показывает шансы появлений

дан

ного события независимо от того, будут

проведены

измерения

или

нет.

К а к

видно

из

уравнения

(231),

вероятность — число

отвле

ченное,

причем

заключено в

пределах

от

0 до

1, ибо

п А

не

мо

ж е т

быть больше N . Если вероятность

какого-то события

равна

нулю, значит, оно невозможно, а если

единице — н а в е р н я к а

про

изойдет. Н а п р и м е р , вероятность появления ц и ф р ы

при

броса

нии кости равна нулю, а вероятность,

с к а ж е м ,

того,

что за

днем

настанет ночь, равна единице.

Н а р я д у с определением

вероятности

(231)

м о ж н о

д а т ь

дру

гое ценное определение. Пусть

Т — длительность всех

испытаний

в данной серии. Р а з о б ь е м это

время

на

одинаковые

интервалы

(для

простоты

суждений за

A t

м о ж н о

принять

длительность од

ного испытания) и подсчитаем время ТА, в течение которого

появляется событие А. Поделив	ТА на Т, найдем временную час
тоту события А, а взяв предел	этого	отношения при	Т->-оо,—•
его вероятность
W A =	lim			(2323
	T ^ o o T
П р и н и м а я во внимание, что ^А~~П АД-*>		а Т ~ NAt, легко	убедить
ся в эквивалентности в ы р а ж е н и й (231)		и (232).
Приведенные определения вероятностей относятся к событи
ям, которые характеризуются дискретным рядом чисел,				напри
мер ц и ф р а м и 1, 2, 3, 4, 5, 6 на	гранях	куба. В физике,		однако,

нередко встречаются случайные величины, имеющие непрерыв

ный спектр значений. К	ним относятся координаты, скорость и
др . п а р а м е т р ы . Н а й д е м	в ы р а ж е н и е вероятности дл я этих случа
ев. Пусть некоторая величина А		может принимать непрерывный
р я д -значений в пределах	м е ж д у	хі и хг. С р а з у оговоримся: нет

НО

никакого смысла искать вероятность того, что А имеет единст

венное	наперед	з а д а н н о е	значение	х в	интервале Xi		-і- х2 ,	потому
что непрерывно		распределенная		величина		имеет	бесконечно
много	значений	д а ж е в	каком угодно		малом	интервале		и веро

ятность одного из них очевидным образом р а в н а нулю . Осмыс

ленная

постановка вопроса т а к о в а :

чему

р а в н а

вероятность

то

го, что

числовое

значение

величины

А заключено в

пределах

от

X д о X 4- dx?

П о л а г а я интервал

бесконечно м а л ы м , мы

д о л ж н ы

з а к л ю

чить, следуя

з а к о н а м

математики,

что искомая

вероятность

ли

нейно

зависит

от

dx и, наверное,

как-то от

самого х:

d W A

w ( x ) d x .

(233)

w (х)

н а з ы в а ю т

плотностью

вероятности,

т а к

как

это

вероят

ность, отнесенная к единичному интервалу значений х. И в дан* ном случае вероятность события м о ж н о связать с частотой его появления:

D W

Ё П А = £ Г А

(234)

N T

В в ы р а ж е н и и

(234)

d r u — конечная

величина",

очень _ маленькая

по сравнению с N .

Если А — функция от нескольких

других

случайных

величин,

в о з м о ж н ы е значения

которых

заключены

пределах

xi -f- х 2 ,

Уі -т- у 2 , тогда

вероятность

того,

что

значения переменных

А ле

ж а т в интервалах х -f- х +

dx, у

у +

d W =

w ( x ,

у , . . . ) dxdy .

(235)

В ы р а ж е н и е

(235)

является обобщением

ф о р м у л ы (22). Функ

ция

плотности

вероятности, в х о д я щ а я

в равенства

(233)

(235),

не

может быть

у к а з а н а в

общем

виде,

годном

д л я

всех

случаев .

Ее конкретная ф о р м а зависит от типа физических

систем

и оп

ределяется принципами математической логики

и физики.

Д а л е е

мы

познакомимся с

некоторыми

из

них, здесь

ж е

ограничимся

двумя примерами . Некоторые случайные величины с дискрет

ным спектром		значений	о б л а д а ю т одинаковыми			ш а н с а м и		по
явиться или не		появиться. Д л я		таких р а в н о в о з м о ж н ы х			событий
вероятность
			W =	—,				(236)
				n
где	n — число	различных р а в н о в о з м о ж н ы х событий,					которые
	могут	произойти	в данных условиях.
	Так, при бросании игральной кости				н и к а к а я из	шести		ц и ф р
не	имеет преимуществ,		следовательно,		вероятность появления

к а ж д о й

из них

равна У6 , что подтверждается

при

подсчете

час

тоты

событий.

П р и м е р из

квантовой механики. Согласно гипотезе М. Б о р -

на, вероятность

попадания

микрочастицы в з а д а н н ы й

элемент

пространства

i|np* dV,

где

і|з — функция

Шрёдингера,

вы

численная д л я

точки, л е ж а щ е й

в этом

элементе. С р а в н и в а я

вы

р а ж е н и е

Б о р н а

формулой (233), приходим к выводу: плот

ность

вероятности

пребывания

квантовомеханических

частиц

равна

к в а д р а т у

м о д у л я -ф-функции.

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Н и ж е

будут

сформулированы некоторые из основных зако

нов математической теории

вероятностей, которые

справедливы

д л я независимых событий,

т. е. таких, когда появление или

не

появление к а ж д о г о

из них

не связано

с поведением

остальных .

Пусть в некоторой физической системе в о з м о ж н ы

случайные

события

А ,

В,

С ,

... с вероятностями

W A , W B , W &

....

З а к о н

больших чисел гласит: частота появления любого события в се рии из N испытаний как угодно мало отличается от соответст

вующей вероятности, если N стремится			к	бесконечности. Когда
вероятности событий удается вычислить заранее, этот					закон
имеет в а ж н о е	практическое	значение	в	том смысле, что	при
большом числе	испытаний	мы имеем	возможность более		или

менее		н а д е ж н о	предсказать их			исход.
			ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ
	Эта теорема сформулируется здесь л и ш ь							д л я	несовместных
событий, т. е. таких, когда появление одного из них										исключает
появление другого и наоборот. Простейшие примеры										несовмест
ных событий мы н а б л ю д а е м ,						п о д б р а с ы в а я		монету:		появление
герба исключает появление решки.
	Рассмотрим		группу		несовместимых		случайных				событий.
Пусть		нас интересуют		события А , В, С.			Н а й д е м			вероятность
того, что произошло хотя бы						одно (неважно		какое)		из	интере
сующих нас событий. Если проведено N испытаний,										из	которых
в	п А	случаях	появилось	событие А , в Пв			случаях — событие В,
в	пс случаях — событие			С,	то	частота всех	событий		равна
п А f n R 4- ne			а искомая		вероятность
		N

		W A B C — l i m				= l i m M + l i m - B B - l - . . . 4 -
		N-*oo				N-*oo N		N			1
											(237)

112

Смотрите также файлы

Применение пылеугольного топлива для выплавки чугуна..pdf

Прис Б.В. Моделирование железобетонных конструкций.pdf

Прямые реакции и изомерные переходы..pdf

Пузырев В.А. Тонкие ферромагнитные пленки в радиотехнических цепях.pdf

Пустынский И.Н. Транзисторные видеоусилители.pdf

Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно