Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.07.2024
Просмотров: 135
Скачиваний: 0
В е р о я т н о с ть появления какого -нибудь из несовместимых со
бытий |
равна сумме |
вероятностей отдельных событий |
(теорема |
с л о ж е н и я ) . Следствие: вероятность появления хотя |
бы одного |
||
из всех |
в о з м о ж н ы х |
в данных условиях несовместимых событий, |
очевидно, р а в н а единице. И н ы м и словами, из всех мыслимых событий какое - нибудь достоверно случится. Это положение назы вают условием нормировки вероятности.
ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ
Вероятность совместного появления независимых событий
равна |
произведению |
вероятностей |
к а ж д о г о из событий. В самом |
|||||||||||||
деле, пусть в |
какой-то системе |
в о з м о ж н ы |
независимые |
события |
||||||||||||
А и |
В, |
причем |
п ~ — ч а с т о т а |
события А, но |
к а ж д о м у |
событию А |
||||||||||
соответствует |
д о л я событий |
В, |
р а в н а я — |
|
. Следовательно, |
|
час- |
|||||||||
тота совместного |
появления |
обоих |
событии — |
• — , после |
чего, пе- |
|||||||||||
реходя |
к пределу, получаем |
|
|
|
|
N |
N |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
W A B = lim |
. 55- = |
lim ^ |
• lim ^ |
= |
W A - W B . |
|
(238) |
|||||||
|
|
|
N-+ oo N |
N |
N-i-oo N N->-°° N |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Справедливо и обратное: если вероятность |
сложного |
собы |
||||||||||||||
тия р а в н а произведению вероятностей отдельных событий, |
то |
|||||||||||||||
последние независимы . В формулировке |
теоремы у м н о ж е н и я |
|||||||||||||||
термин «совместные события» в одних случаях |
понимается |
к а к |
||||||||||||||
«одновременные |
события», |
а в |
других — к а к |
события, |
следую |
|||||||||||
щие друг за другом . Поясним это замечание |
на |
простейших |
||||||||||||||
примерах . П р е д п о л о ж и м , п о д б р а с ы в а ю т с я |
две |
одинаковые |
мо |
|||||||||||||
неты. С п р а ш и в а е т с я , |
какова вероятность |
одновременного |
выпа |
|||||||||||||
дения монет кверху решками? Вероятность того, что |
к а ж д а я |
|||||||||||||||
монета упадет решкой, по ф о р м у л е |
(236) |
равна |
Ѵг, следователь |
|||||||||||||
но, |
вероятность |
одновременного |
выпадения р е ш к а м и |
равна |
'Д. |
|||||||||||
Н о |
такой ж е ответ получится, если мы поставим |
другой |
вопрос: |
|||||||||||||
какова вероятноть того, что при двухкратном |
подбрасывании |
|||||||||||||||
одной монеты оба р а з а выпадет |
р е ш к а ? |
В |
обоих случаях |
собы |
||||||||||||
тия совместные, хотя в одном из |
них они |
были |
одновременны |
|||||||||||||
ми, |
а в другом •— нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ
Если случайная величина имеет различные числовые значе ния, целесообразно, знать среднее значение этой величины.
Пусть в результате N испытаний выяснилось, что величина
113
M в ni |
случаях имеет |
числовое |
значение М ь |
в п 2 случаях — М 2 > |
|
||||||||||||||||
в п 3 случаях — М 3 |
и т. д., тогда |
среднее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
M = |
|
М і П і |
+ M 2 n 2 -f M 3 n 3 |
+ • • • _ м |
|
I м |
_ n o _ |
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
N ^ o o |
|
|
|
|
1 N 00 |
|
|
' N ->- 00 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
+ . . . 4 - |
= |
2 M , W , . |
|
|
|
|
|
|
(239) |
|
||||
Таким образом, среднее значение случайной величины |
M |
|
|||||||||||||||||||
равно сумме произведений различных числовых значений этой |
|
||||||||||||||||||||
величины на их соответствующие вероятности. Если |
случайная |
|
|||||||||||||||||||
величина M имеет непрерывный спектр значений, то сумма в |
|
||||||||||||||||||||
правой части (239) |
о б р а щ а е т с я |
в |
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
М = j ' M d W . |
|
|
|
|
|
|
(240) |
|
||||||
Н а п о м н и м : в квантовой механике теорема о |
среднем, |
вообще |
|
||||||||||||||||||
говоря, |
формулируется |
иначе: M = |
| 4 r *M4 r dV . |
Приводим |
|
не |
|
||||||||||||||
сколько |
правил вычисления |
среднего. Среднее |
постоянного |
чис |
|
||||||||||||||||
л а — с а м о |
это |
постоянное. В частности, среднее |
от |
среднего |
M |
|
|||||||||||||||
снова равно среднему М. Среднее суммы величин |
А 4- В 4- С |
• |
|||||||||||||||||||
равно |
сумме средних |
А + |
В + |
С. Среднее произведение |
незави |
|
|||||||||||||||
симых |
величин |
А • |
В • С |
равно |
произведению |
средних |
значений |
' |
|||||||||||||
сомножителей |
Ä • В • С. Д о к а з а т е л ь с т в а этих |
правил |
очевидны, |
|
|||||||||||||||||
и мы |
их |
|
опускаем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ПОНЯТИЕ О ФЛЮКТУАЦИЯХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Н а с к о л ь к о |
в а ж н о |
знать |
среднее |
значение |
величины |
М, |
|
на |
|
||||||||||||
столько |
в а ж н о |
знать, |
как |
сильно |
отклоняется |
то или иное конк |
|
||||||||||||||
ретное значение этой величины от среднего. |
В |
качестве |
меры |
|
|||||||||||||||||
отклонения, |
к а з а л о с ь |
бы, |
проще |
всего взять |
среднюю |
разницу |
|
||||||||||||||
м е ж д у данным |
значением |
величины |
и ее средним: M — М = |
А М . |
|
||||||||||||||||
О д н а к о |
эта |
мера неудобна. Д е л о |
в |
том, что |
при |
большом |
числе |
|
|||||||||||||
измерений случайной величины отклонения с завышением |
всегда |
|
|||||||||||||||||||
приблизительно равны отклонениям с занижением, но поскольку |
|
||||||||||||||||||||
первые положительны, а вторые отрицательны, то среднее от |
|
||||||||||||||||||||
клонение |
M — М = |
0 |
д л я любой случайной величины независимо |
|
|||||||||||||||||
от ее |
природы . Эту нивелировку |
м о ж н о устранить, |
если |
вычис |
|
||||||||||||||||
л и т ь - л и ш ь |
абсолютное значение |
отклонения |
|
| М — М | . Иногда |
|
||||||||||||||||
так и |
поступают. |
Н о |
гораздо |
удобне о к а з а л а с ь |
д р у г а я |
мера |
|
||||||||||||||
отклонения: |
Ѵ^(М |
— M ) 2 |
= |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
114
Н о в а я м е р а |
всегда |
положительна и зависит от М. Н а з ы в а е т |
|
ся она абсолютной флюктуацией . Пользуяс ь |
п р а в и л а м и вычис |
||
ления среднего, |
получаем |
|
|
8 = К ( М - |
M)" 2 |
К м 2 - 2 М М + М 2 = |
] / м 2 — (М) а . ( 2 4 1 ) |
Следовательно, абсолютная флюктуаци я равна корню квад ратному из среднего к в а д р а т а величины M минус к в а д р а т сред него. Отношение абсолютной флюктуации ô к среднему значе-
нию = f называется относительной флюктуацией, которая
особенно полезна при оценке степени рассеяния значений M вокруг среднего.
Приведе м в а ж н е й ш и й пример расчета флюктуации . Пред
положим, что |
некоторая |
физическая величина, |
характеризую |
щ а я систему, |
состоящую |
из взаимодействующих |
частей, обла |
дает свойством аддитивности. Следовательно, ее числовое значе
ние дл я |
системы |
в |
целом |
M = M i -f- М 2 + |
.... Таки м свойством |
о б л а д а е т |
масса, |
в |
ряде |
случаев энергия |
и т. д. Пр и оценке |
флюктуации части системы будем считать приблизительно оди
наковыми, поэтому п о л о ж и м |
M ^ NMo. З д е с ь |
N — число |
частей, |
|||||
М 0 — значение M дл я одной |
части. |
|
|
|
|
|||
Отсюда абсолютная ф л ю к т у а ц и я |
аддитивной |
величины M |
||||||
8 = V т г + М 2 - \ - . . . + M N |
) - ( M 1 |
+ M 2 + . . . + М ^ ) ] 2 = |
||||||
|
= Ѵ / " [ ( М 7 : : : М 1 ) + ( М 2 |
- М 2 |
) + . . . + ( M N - M N ) ] 2 |
= |
||||
= Ѵшх2 |
+ Д М 2 2 + . . . + Д М П 2 |
+ 2 Д М 1 Л М 1 + . . . + |
2 Ä M N _ i Ä M N |
|||||
но |
в силу |
предполагаемой |
независимости величин |
М ь |
М 2 , |
|||
M N , |
A M I = Д М 2 = 0 все перекрестные |
сомножители |
под |
корнем |
||||
пропадут . |
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = | / N A M 0 |
2 . |
|
|
|
||
М ы |
видим, что Mc/oN, а О С Л І / N , следовательно, - [ = — |
|
Таки м образом, относительная ф л ю к т у а ц и я аддитивной ве личины, х а р а к т е р и з у ю щ е й систему, состоящую из многих слабо взаимодействующих частей, тем меньше, чем больше частей в системе.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ
Объектом исследования статистической физики является ан самбль, т. е. совокупность огромного числа квазинезависимых
115
физических |
систем. Б л а г о д а р я |
слабому |
взаимодействию и при |
|
надлежности |
к огромному коллективу, |
поведение к а ж д о й |
систе |
|
мы в а н с а м б л е носит случайный характер и подчиняется |
зако |
|||
нам теории |
вероятностей. И з |
условия |
квазинезависимости |
сле |
дует аддитивность энергии ансамбля . Действительно, полная
энергия |
а н с а м б л я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е = Е 1 |
+ Е я + Е а + . . . + Л Е 1 2 |
+ Л Е 1 8 + . . . . |
|
|
||||||||||
Н о поскольку системы почти независимы, энергией |
взаимодей |
||||||||||||||
ствия м о ж н о пренебречь, |
поэтому |
Е = |
Еі + Е 2 |
+ ... + |
Е п . |
|
Следо |
||||||||
вательно, |
а н с а м б л ь |
м о ж н о определить |
к а к |
конгломерат |
|
огром |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ного |
числа |
|
объектов, |
|
полная |
||||
|
|
|
|
|
|
энергия |
которого |
|
подчинена |
||||||
|
|
|
|
|
|
условию аддитивности. П р и та |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ком |
|
определении |
|
понимание |
|||||
|
|
|
|
|
|
а н с а м б л я |
весьма |
гибко. |
П р о |
||||||
|
|
|
|
|
|
стейший |
|
а н с а м б л ь — идеаль |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ный |
газ |
из |
одноатомных |
моле |
|||||
|
|
|
|
|
|
кул или свободных электронов . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Н о за а н с а м б л ь м о ж н о |
принять |
||||||||
|
|
|
|
|
|
любое |
тело, д а ж е |
в |
ж и д к о й и |
||||||
|
|
|
|
|
|
твердой фазе, если |
представить |
||||||||
|
|
|
|
|
|
его в виде совокупности |
систем, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
внутренняя |
|
энергия |
|
которых |
|||||
|
Рис. 31 |
|
|
|
больше |
энергии |
взаимодейст |
||||||||
|
|
|
|
|
|
вия. Такое представление воз |
|||||||||
можно . В самом деле, |
внутренняя |
энергия |
системы |
з а к л ю |
|||||||||||
чена в ее объеме, поэтому |
она |
пропорциональна кубу |
линейного |
||||||||||||
р а з м е р а |
системы / |
(рис. |
31), |
а |
энергия |
взаимодействия — это |
|||||||||
поверхностный |
эффект, |
следовательно, |
она |
пропорциональна |
|||||||||||
к в а д р а т у |
/. Отсюда |
вытекает, |
что |
при |
н а д л е ж а щ е м |
подборе |
/всегда м о ж н о удовлетворить условию, чтобы внутренняя
энергия |
систем превосходила |
энергию взаимодействия, и тем |
с а м ы м |
р а с с м а т р и в а т ь тело |
к а к а н с а м б л ь квазинезависимых |
частей размером порядка /. Наконец, м о ж н о вообразить ан
самбль, составленный |
из |
«копий» |
одного |
единственного |
тела, |
||||||
где |
к а ж д а я копия |
и з о б р а ж а е т |
физическое |
состояние тела |
в тот |
||||||
или |
иной |
момент |
времени. Д л я |
иллюстрации этой мысли |
снова |
||||||
привлечем |
игральную |
кость. Если мы будем подбрасывать, ска |
|||||||||
ж е м , тысячу |
кубиков, |
то |
о б н а р у ж и м все |
закономерности |
данно |
||||||
го |
ансамбля, |
но, |
если |
взять одну |
кость |
и |
представить |
тысячу |
вариаций, в которых она может оказаться вследствие тысячи бросаний, мы получим а н с а м б л ь вариаций, который логически ничем не отличается от «настоящего».
116
СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ |
|
||
П о с к о л ь ку поведение систем |
в |
а н с а м б л е носит |
случайный |
характер, физические параметры, |
их |
описывающие, |
испытывают |
непрерывные флюктуации . В микромире они происходят с час
тотой порядка |
V ^ |
105 , |
и |
приборы не могут |
их |
регистрировать. |
|||||||
Это объясняется тем, что вся измерительная |
техника |
выполнена |
|||||||||||
из |
макродеталей, |
которые б л а г о д а р я |
большой |
инерции, |
не |
в |
|||||||
состоянии «следить» за мелкими и частыми |
изменениями |
пара |
|||||||||||
метров. Стрелки, «зайчики» и другие индикаторы прибороз |
ука |
||||||||||||
зывают л и ш ь средние значения измеряемых |
величин, |
однако |
и |
||||||||||
они |
с течением |
времени |
т а к ж е |
могут |
изменяться . Если |
таких |
|||||||
изменений нет или они очень малы, говорят, |
системы |
а н с а м б л я |
|||||||||||
находятся |
в состоянии |
статистического |
равновесия. |
П р а к т и к а |
|||||||||
у к а з ы в а е т |
две |
возможности реализации равновесного состоя |
|||||||||||
ния. В первом |
случае |
система |
д о л ж н а |
быть |
теплоизолирована, |
или, как говорят, находиться в адиабатической оболочке. Во
втором |
случае |
она |
д о л ж н а находиться |
в контакте с телом, |
име |
|
ющим |
огромную |
теплоемкость. Такое |
тело |
образно н а з ы в а ю т |
||
термостатом, |
так |
к а к б л а г о д а р я большой |
теплоемкости |
оно, |
подобно термостату, обеспечивает неизменность состояния взаи модействующих с ним систем. Теоретически в качестве термос
тата м о ж н о принять всю |
совокупность систем, за |
исключением |
|||||||||||
данной . Теплоемкость этой совокупности очень велика, |
потому |
||||||||||||
что велика |
и сама |
совокупность. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
М е х а н и з м установления равновесия заключается |
в |
следую |
|||||||||||
щем . Пусть в некоторый момент времени системы |
характери |
||||||||||||
зуются |
различными п а р а м е т р а м и |
равновесия. |
Т а к |
|
н а з ы в а ю т с я |
||||||||
величины, |
которые |
при |
равновесии о к а з ы в а ю т с я |
одинаковыми |
|||||||||
д л я всех систем. Типичный |
пример |
величины такого |
рода — тем |
||||||||||
пература . М е ж д у |
системами имеется |
слабое, |
но все ж е |
реальное |
|||||||||
взаимодействие. |
|
Впрочем |
случайный |
характер |
процессов |
не |
|||||||
исключает в отдельные редкие моменты и сильных |
взаимодей |
||||||||||||
ствий. Т а к |
или |
иначе |
б л а г о д а р я |
взаимодействию |
в ы ш е у к а з а н |
||||||||
ные п а р а м е т р ы |
систем |
постепенно |
выравниваются |
и |
становятся |
||||||||
равными |
п а р а м е т р а м и |
термостата . У |
последнего из-за |
большой |
|||||||||
теплоемкости п а р а м е т р ы равновесия |
остаются |
практически |
не |
||||||||||
изменными . И з |
приведенных рассуждений нетрудно |
заключить: |
абсолютно не взаимодействующие объекты не могут придти в равновесие.
Ц е л ь статистической |
физики м о ж н о |
определить |
следующим |
||
образом: описать поведение физических |
систем |
а н с а м б л я в сос |
|||
тоянии равновесия . |
М ы |
будем р а с с м а т р |
и в а т ь |
л и ш ь |
системы в |
термостате . Такой |
выбор |
оправдывается |
не только |
ограничен- |
117