Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

(242)

и определяет смысл

понятия ортогональности

пространства,

т а к ка к при косоугольных

координатах оно имело бы другой вид.

В обычном

пространстве

ds — длина отрезка траектории, в ф а з о ­

вом

пространстве

ds

и з о б р а ж а е т из­

менения

состояния системы

м е ж д у

н а ч а л ь н ы м

состоянием

I

и

конеч­

н ы м — I I (рис. 32). В конфигураци ­

онном пространстве

dV = dxdydz —

элемент

объема, а

[ J J* dxdydz = V

у z

'•—полный

объем .

В ф а з о в о м

про­

странстве

в ы р а ж е н и е '

d r

= dg 1 dg 2 dg 3 dp 1 dp 2 dp 3

(243)

Рис. 32

н а з ы в а ю т

элементом

фазового

объема,

причем

здесь

а Г ѵ =

= dgidg2dg3 — элемент обычного

объема, а Г р — сіріаргарз — эле ­

мент

импульсного

объема .

Ш е с т и к р а т н ы й

интеграл

от

аГ по

всем

координатам

и

импульсам

имеет смысл н а з в а т ь

ф а з о в ы м

объемом

Г. Очевидно,

Г = Ѵ J J j d P l d p 2 d p 3 ,

где V — конфигурационный

объем . С физической точки зрения

ф а з о в ы й объем определяет

диапазон, или

спектр

всех

в о з м о ж ­

ных

координат и

импульсов,

х а р а к т е р и з у ю щ и х

состояние вы­

бранной

системы. Шестимерное

ф а з о в о е пространство

состояний

нологии

ученого

Эренфеста

н а з ы в а ю т

(х-пространством,

более

с л о ж н о — G-пространством.

В

этом

случае

системой

является

макроскопический участок газа, состоящий из огромного

числа

частиц. А н с а м б л ь

в свою очередь — совокупность

большого

чис­

л а

участков, т. е. ка к говорят,

газ из газов . G-пространство

име­

ет

6N измерений,

N — число

частиц

в

системе.

П р и н ц и п ы

по­

строения

элементов

G-пространства те ж е самые,

что и

р-прост-

ранства . В частности, элемент фазового

объема

d r

= d V N d r N ,

dV =

d g l d g 2 d g 3 ,

d r p =

d P l d p 2 d p 3 .

(244)

З д е с ь дл я простоты

элементы объемов одной

частицы

взяты

одинаковыми .

Очевидно, при N = 1 в ы р а ж е н и е (244) совпадает

с в ы р а ж е н и е м

(243).

Физическое состояние квазинезависимой системы

а н с а м б л я

чисто

умозрительно

можно

описать разными

путями. Вот

один

из них. В ы б р а н н а я

система

характеризуется

п а р а м е т р а м и

А,

В,

С,

где А — энергия, В — давление

и т.

д. К а ж д ы й

из

этих

п а р а м е т р о в зависит от обобщенных координат и импульсов,

т а к

что А, например, есть

функция

A (gw,

ры)>

где к =

1, 2, 3,...; / —

пробегает значения

от

1 до

N ;

N — число

частиц в

системе;

gk(

и р и

зависят

от времени, и

эту

зависимость

(казалось

бы!)

мы

м о ж е м найти,

р е ш а я уравнения

механики,

у к а з а в предваритель ­

но начальные условия, т. е. координаты

и импульсы

всех чаеГиц

а н с а м б л я в начальный момент

времени. Если бы нам

у д а л о с ь

с ф о р м у л и р о в а т ь эти

условия и

решить все уравнения, мы наш­

ли бы все координаты и импульсы в любой последующий

мо­

мент

времени t, а тем самым и

п а р а м е т р ы

системы A ( t ) , В

( t ) ,

C ( t ) ,

.... О д н а к о практически

в а ж н ы

не

мгновенные

значения

рым нечувствительны наши приборы, а

средние. Очевидно,

среднее

значение какой -нибудь величины А

в некотором проме­

ж у т к е

времени

г есть сумма всех А

в этом

п р о м е ж у т к е (

поде­

ленная

на т:

(245)

о

Описанная

п р о г р а м м а вычисления

средних п а р а м е т р о в

сис­

рается

на проверенные законы

механики,

логически

она оправ ­

д а н а ,

и тем не менее ее нельзя

реализовать . В с а м о м деле, те

микроскопические начальные условия, без

которых

невозможно

координатах

и импульсах

колоссального

числа частиц, и мы

не м о ж е м их

учесть,

потому что,

к а к в ы р а з и л с я

в ы д а ю щ и й с я

физик

Л . Д . Л а н д а у ,

д л я

этого

не

хватит

ни времени, ни бума­

ги. Н о

допустим нам

удалось

сформулировать

микроскопиче­

ские начальные условия, и тогда, к а к это

ни п а р а д о к с а л ь н о , д л я

какого значения. Действительно,

пусть

две

системы,

например

д в а г а з а

с одинаковой массой и

одинакового

состава,

о к а з а л и с ь

в одном

термостате. М о ж н о

у т в е р ж д а т ь

наверняка,

что микро ­

скопические состояния обеих

систем, т.

е. начальные

распреде ­

спустя некоторое

время,

м а к р о п а р а м е т р ы

систем

(температура,

объем,

давление)

о к а ж у т с я одинаковыми .

К а к

образно

выра ­

ж а ю т с я

по этому

поводу,

системы, придя

в равновесие,

«забы ­

начальные условия

вообще потеряли всякое значение.

Суть

де­

л а не в том,

чтобы

пренебречь этими условиями, а в

том,

что

ф о р м у л и р о в а

т ь их

надо не на микроскопическом языке, а

на

дачу заново:

некоторая

физическая

система с

начальными мак­

р о п а р а м е т р а

м и т о , То и

т. д. вошла

в контакт

с термостатом .

ским методом,

у к а ж е м

другой путь — статистический.

Посколь ­

ку начальные

условия

в ы р а ж е н ы м а к р о п а р а м е т р а м и ,

детальное

чается. О д н а к о сформулированные

условия

все

ж е

позволяют

п р е д с к а з а т ь

все мыслимые

микросостояния,

в

которых

могут

о к а з а т ь с я частицы системы.

Так,

если известен

объем

сосуда,

з а н и м а е м ы й

ансамблем, то, наверное, координаты частиц

любой

системы находятся в пределах этого сосуда. Вместе

с тем сосуд

не н а к л а д ы в а е т ограничений

на ориентацию

скоростей.

Следо­

ретными начальными условиями и с общими принципами

меха­

ники. И з о б р а з и м эти

состояния

точками

в фазовом

пространст­

ве. Вероятность того, что

н а ш а

система

о к а ж е т с я

в интервале

состояний

(g]o pk) -h

(gk +

dg k ,

p k + d p k )

согласно

в ы р а ж е н и ю

(235)

d W =

f (g k , pk ) dg k dp k = f (gk , pk ) d r .

(246)

Здесь

f (gk, P k ) — п л о т н о с т ь вероятности.

В статистической

фи­

зике

она

называется

функцией

распределения по

состояниям,

функция f (gk,

Pk), а

т а к ж е зависимость

искомого п а р а м е т р а

А

от координат импульсов, тогда

по теореме о среднем

(240)

£

= j A ( g k ,

p k ) f ( g k , p k ) d r .

(247)

В ы р а ж е н и е

(247)

определяет

среднее

значение

величины

А

по а н с а м б л ю ,

тогда

ка к ф о р м у л а

(245)

дает среднее значение