Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

того ж е

п а р а м е т р а по

времени. Одна из основных предпосылок

статистической

физики

гласит: д л я равновесного а н с а м б л я ква­

зинезависимых

систем

средние

значения

п а р а м е т р о в

по време­

ни, если

бы их

м о ж н о

было

вычислить

по законам

механики,

тезы. В

общем виде

она не д о к а з а н а ,

но на практике

основан­

ные на этой гипотезе расчеты всегда оправдывались .

Поясним

суть

высказанного положения, а т а к ж е разницу м е ж д у

динами ­

ческим

и статистическим

описанием а н с а м б л я , проводя

ф о р м а л ь ­

ную

аналогию .

Некто пришел в сосновый бор и поставил перед собой цель

изучить

ж и з н ь дерева . Он может сосредоточить свое

-внимание

на каком - то э к з е м п л я р е

и по нему проследить все

стадии смены

состояний

дерева от

н а ч а л а до конца. Это

соответствовало

бы

динамическому способу

решения задачи . Однако исследователь

вскоре

у б е ж д а е т с я ,

что

выбранный

путь

нельзя

осуществить,

д л я

этого

эму попросту

не хватит времени. Тогда,

осмотревшись

вокруг

и

увидев деревья

разного вида, возраста и

т. д., он,

воз­

основания о ж и д а т ь представленными всевозможные

состояния

сосны от рождения до смерти. В таком случае, не имея

возмож ­

ности

проследить

ж и з н ь

к а ж д о г о индивидуума,

он

мог

бы

до­

вольствоваться более скромным результатом: проведя

а н а л и з

всех н а б л ю д а е м ы х

в данный момент состояний

в

лесном

ан­

с а м б л е , реконструировать

среднюю картину жизни дерева .

Это

и был

бы статистический

метод достижения поставленной

це­

дической гипотезе,

могут быть

проверены

непосредственно.

Ведь ученые имеют

возможность

проследить

всю ж и з н ь единст­

выводы

могут более

или менее отклоняться

от нормы,

но

тогда

д л я

получения типичных, т. е. практически

наиболее

в а ж н ы х ,

результатов м о ж н о изучить ж и з н ь

многих экземпляров,

а

затем

провести усреднение. Р е з у л ь т а т ы

усреднения

по времени

совпа­

дут

с

результатами

усреднения

а н с а м б л я .

Непосредственная

КАНОНИЧЕСКОЕ

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Ч т о бы пользоваться статистическим методом вычисления фи­

зических

величин,

необходимо

знать

вид функции

распределе ­

ния. Д л я

систем

в термостате

ее в ы р а ж е н и е нашел американ ­

ский ученый

Гиббс.

М ы

приводим

упрощенный

вариант

его

рассуждений .

Ввиду

того

что при наступлении равновесия

меж ­

раметров будут оставаться

неизменными, функция распределе ­

ния

в в ы р а ж е н и и

(247) не

д о л ж н а с о д е р ж а т ь время в

явном

виде.

Значит, она

определяется такими комбинациями

коорди­

пульса

и энергия. П е р в ы е

шесть величин описывают

д в и ж е н и е

системы к а к целого, которое обычно

в статистике не рассматри ­

вают, а д л я

описания

внутренних процессов

необходим

интеграл

энергии.

Т а к и м образом, функция распределения

д о л ж н а

зависеть

от

энергии

f (gk,

pk)

= f ( E k ) .

Н а й д е м

эту

зависимость.

Предста ­

вим в ы б р а н н у ю систему в

виде

совокупности

более

мелких,

но

все еще

макроскопических

частей — подсистем. Пусть

Еі — внут­

ренняя

энергия

первой подсистемы,

Е 2

— второй и

т. д., а Е —

внутренняя

энергия

всей

системы.

В

силу

квазинезависимости

полная

энергия

системы

Е =

Е 1 +

Е 2

+

Е , +

. . . +

Е п .

(248)

Вероятность

совместного

пребывания

подсистем в

состояниях с

з а д а н н ы м и значениями энергии на основании теоремы

у м н о ж е ­

ния

d W

(Е) =

d W ,

(Ej) d W 2

( Е 2 ) . . . d W n

(E n )

=

=

f,

(Ej)

f2 ( E 2

) . . . fn

(En )

d r

=

Ц Е )

d r .

(249)

И з

двух

уравнений м о ж н о

составить

функциональное

уравнение

д л я

f ( Е ) .

З а м е т и м ,

что

уравнение

(248)

связывает

обратные

функции f:

E(f) =

E 1 ( i i ) +

E 8 ( f a )

+ . . . .

(250)

П р о д и ф ф е р е н ц и р о в а в

последнее

равенство

по т ь п о л у ч и м — —

=

dî ôf

j

_ dEi (h) ^ н

о

и

з

р а в

е н с х

в

а

(249)

—

=

f2

• h

• ••• • fn,

т а к

что

у

f2 î3 . . . fn — —

1

^ -

. Полученное

равенство

т о ж е продиффе -

цируем, например по f2 ,

тогда

^ ^ ( У з . . Л п

)

+ ^ з Ѵ . Л п

)

= 0,

of2

dî2

dî

или, п о д с т а в л я я —- из (249),

найдем

^ (

O

f

+

ö E | ) _

=

( }

( f =

î i f

2 f 3

. . . î n

) .

(251)

Л е в а я

часть

уравнения

(250)

— п о л н ы й

д и ф ф е р е н ц и а л

от выра -

ж е н и я

ôE

это,

ÔE

f =

—ft, где •& —

константа

— f. Учитывая

имеем —

интегрирования .

Последнее равенство легко интегрируется методом

разделе -

ния

переменных

In î =

1- In С. Отсюда

_

Е_

î =

Ce

а .

(252)

Это

и

есть

каноническое

распределение

Гиббса

д л я

системы.

Д л я

подсистем

в

равновесной

системе

оно

имеет

тот

ж е

вид

, _

„

- ~

что

легко

показать, повторив

все

рассуждения,

при

выводе ф о р м у л ы

(252). Р а з б е р е м

х а р а к т е р н ы е

особенности

ка­

нонического

распределения .

Функция

f (Е)

по

смыслу

пропорциональна

вероятности

то­

го, что энергия системы равна

Е. П о с л е д н я я

в

силу

квазинеза ­

висимости системы может принимать л ю б ы е

положительные

значения, включая

бесконечность,

а

т а к

к а к

f (Е)

при

всех

об­

стоятельствах д о л ж н а

быть конечной, п а р а м е т р

é д о л ж е н

быть

гии, тем

меньше

ее

вероятность f ( Е ) .

П а р а м е т р

Ф имеет раз ­

мерность

энергии,

в

противном случае

п о к а з а т е л ь

экспоненты в

точки

зрения. Д о к а ж е м еще

одно

весьма

в а ж н о е свойство

па­

р а м е т р а

Ф. П р и равновесии

его

значение

одинаково д л я

всех

систем

и

подсистем.

деление (252) детальнее:

Ce

*

=

С (e

•« e

a>

. . . e 9 n )

(253)

(

E

^

+

Ea +

. . .

+ Еп).

Н о

эти

равенства

совместимы

л и ш ь

при

выполнении

условия

= $2 =

=

... =

"On- О б р а т н о е

т а к ж е

верно:

если

все

части

системы

имеют

одно

и то ж е

значение Ф, система в равновессии,

поэтому

п а р а м е т р

-о

нередко

называется

модулем

равновесия.

Н о

более распространенное

название

д л я

•& — статистическая

температура,

потому

что

все

его

свойства

аналогичны

абсолют­

ной температуре, о чем будет

сказано

д а л ь ш е .

Постоянная

С в в ы р а ж е н и и

(252)

находится

из условия

нор­

мировки, которое гласит: вероятность того, что подсистема

(или

система)

находится

в одном

из

в о з м о ж н ы х

состояний,

р а в н а

единице:

Е

W

=

С

f е~»

<1Г=

1,

(254)

г

о т к у д а

С

=

^ — .

(255)

j e ~ »

dr

г

Интегрирование

в ы р а ж е н и я

(255)

ведется

по

всему

фазовому

_ Е

объему .

В ы р а ж е н и е

[ е

0

оТ

называется

интегралом

по

сос-

f

тояниям,

или

фазовым интегралом,

и д л я краткости

обозначает-

_

F

ся

символом

е

u

. Таким

образом,

функция

_ Е

Е—F

f(.E)

=

-

^

—

(256)

-

= е

_

~ .

сомножитель

явно зависит от энергии, а второй — от координат

и импульсов,

м е ж д у тем

формулу

вероятности dW м о ж н о

пре­

о б р а з о в а т ь так, чтобы она

целиком

определялась энергией.

Д л я

d r = — dE;

d W = f ( E ) — d E .

дЕ

дЕ

М ы установили аналогию м е ж д у

п а р а м е т р а м и

•& и

абсолют­

ной температурой

Т. Однак о можн о

найти

математическое

вы­

ражение, с в я з ы в а ю щ е е О и Т. Д л я этого решим

одну

из з а д а ч

методом

статистической

физики

и

сравним

результат с

решением

со­

ответствующей, з а д а ч и

в

молекуляр -

ко-кинетической теории. Снова обра ­

тимся

к

простейшему

а н с а м б л ю —

одноатомному идеальному газу. В

качестве

подсистемы

возьмем

от­

дельный

атом. Разумеется,

атом —

не макротело, каковой

д о л ж н а

быть

подсистема,

но

если

мы

допустим,

что в среднем поведение атома под­

чиняется

классическим

з а к о н а м ,

то

н а ш е приближение будет

в извест­

Рис.

33

ной мере оправдано . П о л н а я

энергия

частицы

в идеальном

газе равна

ки­

2

нетической — . Ф а з о в о е пространство

состояний

одноатомной

2 т

частицы шестимерно

(д.-пространстЕо), его объем

равен

произве­

дению

импульсного объема Г р

и

обычного,

конфигурационного

объема

V, занимаемого газом . Н а й д е м в ы р а ж е н и е дл я Г р . Состо­

яние с з а д а н н ы м импульсом и з о б р а ж а е т с я в

^ - пространстве

точ­

кой на конце вектора

ро. В идеальном

газе векторы

р

принимают

все в о з м о ж н ы е н а п р а в л е н и я и значения

в пределах

0 до р,

поэ­

тому ф а з о в ы й

объем,

заполненный

и з о б р а ж а ю щ и м и

точками им­

пульсов, имеет форму ш а р а : Г р

=

я р 3 .

Элемент фазового

объема

импульсов

а Т р = 4 я p2 dp,

т. е. он

представляет

собой

сферический

слой толщиной

dp

(рис.

33).

Т а к и м образом,

в ы р а ж е н и е

вероятности

состояния

приобре­

тает вид

d W = Ce ~ 2 ^47rp 2 dpdV .

( 2

5 8

^