Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

Ч т о б ы определить постоянную С

по

формуле

(255),

найдем

ста­

тистическую

сумму

со

V

р2

со

р2

J j e ~ ^ 4 T C p 2 d p d V

=

4кѴ j

е ~ * S

р 2 d p .

(259)

р=0 о

о

В в ы р а ж е н и и

(259)

второй

интеграл

не

зависит

от импуль ­

сов,

поэтому

он равен

V . И н т е г р а л по

импульсам

берется

в

пре­

д е л а х

от

0 до

оо, т а к

к а к

в

принципе

р

может

иметь

любое

чис­

ловое

значение. П р а в а я

часть

в ы р а ж е н и я

(259)

является

одним

из

интегралов

Пуассона,

часто

встречающихся

в

статистиче­

ской

физике.

Р а з л и ч а ю т

четные

интегралы Пуассона и нечет­

ные. М ы

приводим

их д л я

справок:

! _ Г 5 2 k - a e d î : -

ь з

( 2 k - i )

, / " _ * _ (а > О,

2,

^

Ѵ

*

^

-

^

~

І

2 .

Л

<2б0>

о

И н т е г р а л

(259)

четный,

причем

к = 1 ,

а

=

-^—.

П о л ь з у я с ь

первой формулой (260),

находим

_ з_

C =

(2m0 icft)

2

Ѵ - ' .

После

чего в ы р а ж е н и е

(258)

запишется

в

виде

d W =

e

2 m 4u(2mui> )

2

р М р

(261)

П р а в а я

часть

равенства

(261)

состоит

из

двух независимых

сомножителей:

_ _ £ !

_ і

d W p

= е

2">»4it (2mit0)

2

p2 dp;

d W v

=

П е р в ы й сомножитель определяет вероятность

того, что

им­

пульс

подсистемы

(атома)

л е ж и т

в пределах от р до р +

dp, а

второй — вероятность н а х о ж д е н и я

атома в объеме dV.

Таким

образом,

согласно теореме

у м н о ж е н и я

з а к л ю ч а е м :

лением по объему, и поэтому

вероятность d W p и d W v мы

м о ж е м

р а с с м а т р и в а т ь обособленно

друг от друга . Ц е л е с о о б р а з

н о свя-

з а ть

эти

вероятности с

частотой

событий — , где dn — число

час-

ri

тиц,

о б л а д а ю щ и х

каким - нибудь

общим

признаком, a n — полное

число

атомов в з а д а н н о м объеме . В таком

случае

. , „

dn

dV

dn

n 0

n

incn\

dA/v =

—

= —

7T7 =

= 7 7 ,

(262)

n

V

dV

V

З д е с ь

dn — число

частиц,

оказавшихс я

в объеме dV;

n 0

—

концентрация .

Т а к

к а к

полное число

частиц

n

и объем

V предполагаются по­

стоянными,

то

концентрация

частиц, а

следовательно,

и

плот­

ность

массы

идеального газа

в

равновесном состоянии

согласно

в ы р а ж е н и ю

(262)

одинаковы

во всем объеме . Такой ж е вывод

получается

и

в термодинамике,

однако

его толкование

отлича­

ется от того, которое ему дается

в статистической физике .

В

обычной

термодинамике утверждение об одинаковом

зна­

лютный

х а р а к т е р ,

а в статистической

физике — вероятностный.

В последнем случае с самого н а ч а л а

предполагается

возмож ­

ность отступления

от

установленного

правила . Опыт подтверж ­

дает это заключение . Если измерять

концентрацию

газа

п 0 в

какой-то

части его объема особо чувствительными

приборами,

то обнаружится,

что

п 0 испытывает

беспрерывное

изменение,

флюктуации и только

среднее значение концентрации

п 0

при

частиц в системе, а именно ч —— ———,

где N — п о л н о е число

п0

у

N

частиц. Это соотношение оправдывается

на опыте. Системы, кото­

рые еще могут обследоваться приборами,

с о д е р ж а т

N ~ 101 2

частиц или больше, откуда 7 ~ 10~6

или

меньше. Следователь ­

но, флюктуации концентрации и плотности

макроскопических

частей газа играют тем меньшую роль, чем

больше в них час­

тиц, и в этом случае выводы статистической

физики

практиче­

заметить, что статистическая

физика

г л у б ж е описывает

суть яв ­

лений, чем

термодинамика .

Теперь

рассмотрим вероятность

распределения по

импуль­

сам . Д л я

н а ч а л а вычислим

среднее

значение к в а д р а т а

импуль­

са. П о теореме о среднем

со

3_ оо

р3

р* = J p'MWp = 4

-(2mu&)

2 j ' p 4 e

2 m M p = 3 m & -

(263)

0

ô

З д е сь мы снова воспользовались

ф о р м у л а м и

(260). З н а я

сред­

ний к в а д р а т

импульса,

м о ж н о найти

среднеквадратичную

ско­

рость Ѵ^Ѵ*. Действительно, p 2 =

т 2 Ѵ 2 ,

но масса частицы в клас ­

сической

физике

считается

постоянной,

поэтому

p 2 = т 2 Ѵ 2

, от­

куда Ѵч~2 =

л/~

А

у

га2

'

П о д с т а в л я я

сюда

р 2 из

в ы р а ж е н и я

(263), п о л у ч а е м

Ѵ Ѵ ^ ]

/

- .

-

(264)

У

m

С другой стороны, из молекулярно-кинетической

теории

газов

известно }Ѵѵ2

=

Л/

С р а в н и в а я

это

в ы р а ж е н и е

с форму -

у

m

лой (264), найдем

связь

м е ж д у

статистической

температурой и

абсолютной:

0 =

кТ (к = 1,38054 • 10 - 2 3 дж/град).

(265)

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО СКОРОСТЯМ Д. МАКСВЕЛЛА

В ы р а з и м

в ф о р м у л е

вероятности

d W p импульс

через

ско­

рость, получим

_3

_ mV2

d W v = 4 i t ( 2 m n ô )

2

m 3 V 2 e

2 Э dV.

(266)

По смыслу это в ы р а ж е н и е

дает

вероятность

того, что скорость

частицы

л е ж и т

в

пределах

V -г- V +

dV. Если

d W v

выразить

через частоту

— , то ф о р м у л а (266) запишется

в

виде

n

V 2

dn = n - 4 " | / 7 r - — — — • е

2 * dV .

(267)

2» , 3

Здесь dn — число

частиц, имеющих

скорости

в

и н т е р в а л е dV.

В ы р а ж е н и е (267)

называется законом распределения, частиц по

скоростям Д . М а к с в е л л а .

Относительное число частиц, имеющих скорости в единичном

интервале

=

p (V), есть

функция

распределения

по скорос­

тям . И з ф о р м у л ы

(267)

находим

Р ( Ѵ ) = 4 | Л Г 7

7=r3e

™.

(268)

5 Зак. 2807

129

Л е г к о видеть,

что

функция

р (V)

имеет экстремум,

та к

к а к

р (V) -»-0 при Ѵ - ѵ О и Ѵ-»-оо. Р е ш а я

з а д а ч у на

экстремум,

най­

дем скорость, которой соответствует максимум р ( V ) . Эта ско­

рость называется

наивероятнейшей . И з

ф о р м у л ы

(268)

Ѵ н = |/~2 А

(269)

П о д с т а в и в

ф о р м у л у

(269)

в в ы р а ж е н и е (267), придадим закону

М а к с в е л л а

более

компактный

вид:

dn =

n - 4 i A T — е

v H2 dV.

(270)

М а к с в е л л

вывел

свой

закон

на основе молекулярно-кинетиче*

ской теории и

термодинамики . Д л я

наивероятнейшей

скорости,

в частности, он

получил

Ѵ н

• '

2 k

T

m

С р а в н и в а я

эту

ф о р м у л у с формулой

(269), снова приходим к

соотношению (264).

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Вероятность

состояния

с з а д а н н ы м

значением

энергии

_

Е

d W E

=

Се

9 — dE.

(271)

висит

и входит л и ш ь

в

импульсный ф а з о в ы й

объем

частицы

j _

Г р

=

—я р 3 , причем р =

У 2 т Е , следовательно,

= 4^m ( 2 т Е ) 2

t

а

вероятность состояния

частицы

в интервале

энергии

Е Е

+

- 4 - Д Е

1_

_

Е_

d W ( E )

=

Се

* 4nm ( 2 т Е ) 2 dE.

5_ 3 _ оо

^ Е j _

W ( Е ) = C22 "um2 j e

* E 2 dE = 1.

о