Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

П е р е д нами одна

из

форм

табличного

интеграла:

0I0 1 к-

1

I.3.5... (2к— 1 ) у Т ( а > 0 , к = 1, 2, . . . ) . (273)

В нашем

случае к =

1, а =

1

— , поэтому

-

I

i

I

L

' е

9

Е 2

dE

= 2icâ~»2

,

С

о

(2лт&)2

а вероятность

_ L

_ 3_

і . _ ?_

(274)

d W ( E ) =

2тг 2 »

2 Е 2 е » dE.

_ L

iL J-

_ Е_

р(В)

=2тг

2 ô ~ 2 E 2 e

(275)

К а к

видно

из

в ы р а ж е н и я (275),

р (Е)

имеет

максимум

внутри

интервала

О

оо. Е м у

соответствует наиболее вероятное зна­

чение

энергии

Е в (рис.

34).

Статистическое

равновесие

м о ж н о

определить как последовательность состояний,

в . к о т о р ы х энер ­

гия

системы

близка

к наивероятнейшей . С течением

времени

такие состояния будут реализовываться ч а щ е всего,

т а к

к а к им

соответствуют

большие значения

плотности вероятности

р ( Е ) .

Е щ е

р а з

подчеркнем,

что статистическая трактовка

равновесия

не имеет

х а р а к т е р а

абсолютного

утверждения,

к а к

в

термоди-

5*

131

н а м и к е, что она

предполагает

возможность

флюктуации

вели­

чин, в том числе

и энергии. Д а ж е

вероятность

больших

откло ­

нений

энергии

от равновесного

значения

не

та к у ж

м а л а

(рис.

34). Следовательно, в

р а с с м а т р и в а е м о м

примере,

когда

В заключение найдем среднюю энергию

атома .

П о л ь з у я с ь ф о р м у л а м и

(274),

(275) и

теоремой о

среднем,

получаем

Г=2тг 2& 2 j*E 2 e

»"dE = 2& .

(276)

о

3

С другой стороны, из кинетической

теории е = — кТ.

Таким

образом, установленная

нами связь

м е ж д у

статисти­

ческой и

абсолютной температурой (# = кТ)

имеет

прочную

основу.

через поверхность единичной п л о щ а д и за

секунду

в

направле ­

нии нормали, н а з ы в а ю т плотностью потока

частиц

ѵ.

Согласно

определению ѵ =

• ѵ

в ы р а ж а е т с я через

среднюю скорость.

ds -dt

Выделим на поверхности

элемент _ площади

dsyZ, построим

ци­

линдр с основанием dsy z и д л и н о й V x

dt. Здесь Ѵ х — среднее

зна­

чение проекции на положительное

н а п р а в л е н и е оси х. Число

час­

тиц

в цилиндре

dn = ПоѴх ds y z dt,

где по — концентрация,

а

Vxdsyzdt — объем

цилиндра . Отсюда

ѵ = п 0 Ѵ х . Удобно, однако,

Ѵ х

с в я з а т ь с V . Согласно

каноническому распределению

< ѵ х + ѵ у + v z > m »

d W = Ce

2»

d r V x d r V y d r V z d V ,

теореме у м н о ж е н и я

вероятностей,

м о ж е т

исследоваться

отдель­

но

от

других. Н а с

интресует

вероятность

атома иметь проекцию

V

в

интервале d V x ,

она дается

первым

сомножителем

в

dW:

m „ V x

d W x -

С е ~ ~ й ~ ( і Г ѵ х .

(277).

Ф а з о в ы й объем

д л я Ѵ х , т. е. полное число значений Ѵ х ,

изоб­

р а ж а е т с я

всеми

точками

прямой,

параллельной Ѵх,

поэтому

d l \ x

= dVx-

Н а й д е м

постоянную нормировки

С из

условия

^ ѵ х =

Ѵ х = 2 і / 5 J - f v x e ~ ^ d V x

= 2 l / ^ ^ = l /

=

l-V.

о

Т а к и м о б р а з о м ,

7 = 4 n 0 V ,

V =

l

/

^ .

•

*

(278)

4

X

K™o

Плотность потока частиц через д а н н у ю

поверхность

играет

в а ж ­

ную роль при расчете потока импульса

и

энергии. М ы

восполь­

зуемся полученным здесь результатом в теории фотонного газа .

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА

Обычная, или

феноменологическая,

термодинамика

описыва­

ет равновесные процессы и равновесные состояния тел, совер­

шенно не интересуясь их вутренней микроскопической

структу­

рой. Все выводы получаются из установленных опытным

путем

начал, среди которых наиболее в а ж н о е

место з а н и м а ю т

первое

и второе.

Статистическая

термодинамика

т а к ж е

изучает

равновесные

процессы, но с учетом внутренней микроструктуры тел.

Б л а ­

годаря этому в а ж н о м у обстоятельству,

р я д п а р а м е т р о в ,

прини-

тывается

теоретически.

К р о м е

того,

пользуясь

каноническим

распределением, м о ж н о обосновать и

первое и

второе

начала,

причем последнему д а т ь более глубокое толкование .

АНАЛОГИИ

ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ

И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ СОСТОЯНИЯ

Хотя

феноменологическая

и

статистическая

т е р м о д и н а м и к а

имеют одинаковые цели,

пользуются

они

р а з н ы м и

понятиями .

П а р а м е т р ы ,

имеющие

различные в ы р а ж е н и я (а

в

иных

случаях

всего

л и ш ь

н а з в а н и я ) ,

но

одинаковую

физическую

интерпрета­

цию,

н а з ы в а ю т аналогами .

Д в а

таких

п а р а м е т р а

мы

у ж е

зна­

е м — это

абсолютная и

статистическая

температуры

Т и ф ,

при­

чем •& = kT. Т

и О имеют

различные единицы измерения

(Т

из­

меряется

в

градусах,

ф — в

д ж о у л я х )

и

различные

значения,

если

д а ж е

физические

условия

одинаковы,

но

физическая

суть

их одна

и

та

ж е : они

в ы р а ж а ю т равновесный

обмен

энергией

всех

систем

и

подсистем. Установим еще пару

аналогов .

Среди

намическими потенциалами)

особое место з а н и м а е т

внутренняя

энергия U . Это та энергия тела, которую

оно имело

бы,

покоясь

в з а д а н н о й системе

отсчета,

исключая энергию взаимодействия

с другими телами . В феноменологической

термодинамике меха ­

низмы о б р а з о в а н и я

U не р а с с м а т р и в а ю т

и находят

U

или из

венным

является

теоретический

вывод

внутренней

энергии.

Пусть

некое тело

представляет а н с а м б л ь

квазинезависимых

си­

стем,

а Е

есть мгновенное значение

энергии одной из

них.

Б л а ­

приборами . Отсюда логично заключить: среднее по

а н с а м б л ю

значение энергии

ER квазинезависимой системы и есть

ее

внут­

ренняя энергия U

в понимании феноменологической термодина ­

мики, а сумма Eu всех систем равна внутренней энергии

рассмат ­

риваемого тела. Н а й д е м в ы р а ж е н и е Е системы, пользуясь

гео­

ремой о среднем:

J

_ Е _

^Ее » dr

J e » dr

U = Ë = C

Ее

э а Г = Л —

= r ^ — — .

(279)

J e~»~dr

г

В равенстве

(279)

мы

использовали

представление постоянной

нормировки

С через статистическую

сумму

Z

и

через

п а р а м е т р

F. О к а з ы в а е т с я ,

Е

м о ж н о

выразить

как

результат

простой

опе­

рации от

интеграла

по

состояниям

Z. Рассмотрим

частную

про-

Е

изводную

— Г е

э

dF.

Здесь

операцию

дифференцирования

и

д& J

г

интегрирования м о ж н о

поменять местами, т а к

к а к

интеграл

бе­

рется по

координатам

и импульсам qk и рк,

от

которых

û

не

за-

д

1

Г

Е

висит. В

таком

случае

— Z = — \

Е е

а

d r . С р а в н и в а я это

выра -

г

дЪ_

ж е н ие с формулой

(279), получаем

R =

или

Z

'

U =

l

=

ô 2

— I n Z .

(280)

Ч т о касается интеграла

по

состояниям Z, то его значение

зави ­

сит от выбора системы

и

ее

строения. К а к

мы

убедимся,

через

Z м о ж н о выразить все термодинамические функции, поэтому

вычисление Z составляет одну из центральных

з а д а ч статисти­

ческой физики. В ^ - пространстве Z определяется

шестикратным

интегралом

по координатам

и импульсам

одного

атома:

2 -

2

2

_

Рх + Р у

+ P z

Z ( , = j

j

j

j

j

j

e

dp x dp y dp z dxdydz .

Чх

Чу

q z р х

р у р г

В G - пространстве

Z

у ж е

определяется

ô N - кратным интегриро­

ванием по координатам

и импульсам

N

атомов

системы,

однако

Z в G-пространстве легко

связать с Z ^ . Действительно,

_ EL

_ Ëi

E N

Z = f e

» с І Г і - J e

a d r 2 - - - f e

r

d r N ,

г

где к а ж д ы й

интеграл

произведения берется по координатам и

импульсам

одного

атома,

но

атомы

в

системе

практически

не