Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

последующие поиски решения аплитудного уравнения

Ш р е д и н -

гера — основная

з а д а ч а механики

стационарных

процессов.

ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ

Пусть

п о т е н ц и а л ь н а я , э н е р г и я

зависит только

от одной коор­

д и н а т ы

X, например

так,

к а к

это

и з о б р а ж е н о на

г р а ф и к е

(рис. 8) .

Если

частица

о к а з а л а с ь

в области минимума потен­

циальной

энергии U

(х), говорят,

что она находится

в

одно­

мерной яме . П о

оси

частица

будет испытывать

силу

f =

— — ,

эта сила

всегда

н а п р а в л е н а

в сторону

у б ы в а н и я

потенциальной

Рис.

8

•

Рис.

9

энергии

(знак

минус),

поэтому

частица не

м о ж е т покинуть яму,

если ее

энергия Е

не

больше

некоторого

предела,

зависящего

от глубины

я м ы

U 0 ,

т. е. разности м е ж д у

м а к с и м а л ь н ы м и

минимальным значениями U . Численное значение Е определя ­

ется начальными условиями и может быть

л ю б ы м .

Все

у к а з а н н ы е

особенности

д в и ж е н и я

получаются из зако ­

очередь предполагает знание

вида потенциальной функции U .

Во многих случаях функция U

известна теоретически, во мно­

когда

нет

ни теоретических,

ни

экспериментальных

данных,

вид U

з а д а ю т гипотетически.

U может иметь с а м ы е

разнооб ­

р а з н ы е

в ы р а ж е н и я , однако

все

решения

уравнения

Шрединге ­

ра д л я

частиц в

потенциальных

я м а х о б л а д а ю т

некоторыми

об­

щими

чертами,

которые легче

всего получить,

если

в ы б р а т ь

математически наиболее простую потенциальную яму.

Т а к о в а

одномерная

я м а

прямоугольной

ф о р м ы

(рис. 9) .

Глубина

ее

б о л ь ш а я , теоретически бесконечно

б о л ь ш а я . С р а з у

ж е

заметим,

что «угловатых» ям в природе нет,

ибо

все физические

функ­

ции U меняются

плавно . И х

и

быть

не

может,

в самом

деле,

в точках

0 и а (рис. 9 ) — — =

f

о б р а щ а е т с я в

бесконечность,

дх

но реальные силы всегда конечны, что и

д о к а з ы в а е т

отсутствие

углов. Тем не менее на практике

могут

встретиться такие функ­

ции U ,

которые

в окрестностях

некоторых точек

меняются,

решение получается математически легче, хотя

и в ущерб

стро­

гости.

З а п и ш е м

уравнение

Шредингера д л я

области

минимума

по­

тенциальной

энергии,

причем

UM hh

п о л о ж и м

р а в н ы м

нулю, так

к а к

н а ч а л о

отсчета

величины

U

м о ж н о

взять

произвольным .

С учетом

сказанного уравнение

в области 0 ^

х ^

а имеет вид

Ё!*: л . \(Щ = 0.

(69)

2я

/

З д е с ь постоянная

k = — К 2 т Е .

Д л я свободной частицы

( U — 0)

h

эта

постоянная согласно

де

Б р о й л ю

имеет

конкретный

смысл:

она

р а в н а модулю

волнового

вектора

—, и

ее

н а з ы в а ю т неред-

ко

волновым

числом.

О б щ е е решение

уравнения

(69)

очень

простое:

W =

Asin (kx — ô ) ,

где

А и

б •— произвольные

посто­

янные . Это решение однозначно

(периодическая

функция

счи­

тается однозначной в пределах своего главного

значения

аргу­

мента,

в

данном

случае

от — я

до

+ я ) ,

решение

т а к ж е

и ко­

нечно,

но, кроме

того,

оно

д о л ж н о

быть

непрерывным

во

всем

пространстве .

Выполнение

последнего

условия

даст

в о з м о ж ­

ность найти б и к. В

точках

О н а

я м а

ограничена

бесконечно

высокими потенциальными б а р ь е р а м и (так

н а з ы в а ю т

участки,

где

U

возрастает,

или глубину

я м ы

Ûo,

взятую

с

обратным

з н а к о м ) ,

частица

не

может

проникнуть в

область

барьеров,

д л я

этого т р е б о в а л а с ь

бы

бесконечно

б о л ь ш а я

энергия,

поэто­

му

ЧЧО) = Т

(а)

= 0 .

Отсюда

получаем

6 =

0

и,

кроме

того,

в а ж н е й ш е е

условие д л я k,

а

именно:

а к п

=

п я ,

п =

1, 2,

3

(п = 0

исключаем

ка к

тривиальное, та к

ка к это ведет к W (х)

=

= 0

всюду,

а

не

только

в

точках

0 и а ) .

Таким

образом,

k n

изменяется

скачками,

но

в

таком

случае получается, что спектр

энергии

дискретный:

E n

=

8n2 m

=

8 т а з

n 2 .

(70)

4

п называется квантовым числом. Вывод о прерывистом

х а р а к ­

тере

изменения энергии

ч у ж д

классической

физике и

я в л я е т с я

чисто

квантовым

эффектом . О д н а к о замечательно следующее:

если,

пользуясь формулой

(70),

найти

разность

двух

соседних

значений

энергии,

так

н а з ы в а е м у ю

энергетическую

ступеньку,

т. е. Еп-і — Е п ,

и

взять

отношение

этой разности

к Е„:

Е "

+ Ѵ ~ Е "

=

2 - ~ \ -

E n +

1 - E n = - ^ ( 2 n - l ) ,

. (71)

En

n

n 2

8 m a2

то легко

видеть,

что

при

больших

энергиях

( п - ѵ о о )

энергети­

ческие

ступеньки

становятся

ничтожно м а л ы м и по сравнению

с Е

и

спектр м о ж н о

считать

сплошным,

а

в

случае

больших

масс

m

или

р а з м е р о в

я м ы

а

квантование

Е

несущественно

и

при

м а л ы х

n

(формула

71).

Полученный

результат

подтверж ­

дает

справедливость принципа

соответствия.

Д л я

того

чтобы

определить

коэффициент

А

в

функции

W (х), используем условие нормировки . В

данном

конкретном

случае

оно

гласит:

частица,

о к а з а в ш а я с я

внутри ямы,

ограни ­

ченной

бесконечно

высокими

потенциальными

барьерами,

не

может

выйти из

нее

и

с полной

достоверностью

находится

в

одной

из

точек

ямы,

а

так

к а к

вероятность

достоверного

собы-

а

тия по

условию

равна

единице,

то

W

=

А 2

\

sin3

kxdx =

1,

о

2

о т к у д а А =

I /

~ , где а — ш и р и н а

ямы, следовательно,

Ч? п (х)

=

2

sin

kx.

Теперь

определим

распределение

плотности

вероятности об­

н а р у ж е н и я

микрочастицы

в

различных

состояниях:

d W

=

j»Fn i2 dx;

—

=

A 2 s i n 2

— X .

dx

„

a

I .

Р а с с м о т р и м

невозбужденное

(основное)

состояние

мик­

рочастицы.

Д л я

такого

состояния

n =

1.

Вероятность

пребы ­

вания

вблизи

центра

потенциальной я м ы м а к с и м а л ь н а

(рис\ 10).

О д н а к о

частица

м о ж е т находиться

в различных

точках

интер­

в а л а

[0,

а].

II . П р и

п =

2

—

=

A 2

sin 2

— X .

dx

а

Если

частица

находится

во втором

возбужденном

состоя­

32

4

С увеличением квантового числа растет количество

макси­

мумов на

кривой распределения плотности вероятности.

П р и

очень больших п количество максимумов

т а к

велико, что ве­

роятность

н а х о ж д е н и я микрочастицы во

всех

областях

отрез-

ка а м о ж н о считать

одинаковой,

точно

т а к ж е

как и д л я клас ­

сической частицы.

Это

является

еще

одним

подтверждением

справедливости принципа

соответствия.

£<

1

\

-

\

/

\

'I1

\

i

s

\

3?,

ос'

х г

X

Рис.

12

Р а с с м а т р и в а я рис.

10, м о ж н о

заметить

аналогию м е ж д у

г р а ф и к а м и а м п л и т у д ы

волновой

функции и г р а ф и к о м изменения

а м п л и т у д ы стоячей

волны, возникающей при возбуждении стру­

ны, закрепленной

в двух точках х = 0, х = а. Внутри

потенци­

альной

я м ы возникает «стоячая волна вероятности», и

поэтому

нередко

процедуру

решения стационарных з а д а ч н а з ы в а ю т ме­