Файл: Домбровская М.М. Жесткость штифтовых и шпоночных соединений вала и втулки.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 136
Скачиваний: 2
Произвольные постоянные d, ..., Cs можно найти, используя граничные условия (32) — (34), приводящие, однако, к весьма громоздким выражениям, применение которых на практике за труднительно.
Учитывая, что конструктивные и технологические параметры соединения не могут быть выбраны с абсолютной точностью и, следовательно, коэффициенты жесткости упругого основания также претерпевают рассеяние, можно сделать ряд допущений, упрощающих решение.
Упругая линия штифта является выпуклой кривой. Деформа ция втулки по мере удаления оси штифтового отверстия от гра ницы вала и втулки уменьшается: деформируется практически ближайший к валу участок втулки. Снижение точности расчета будет несущественным, если положить, что втулка весьма тол
стая (R = oo). Это совместимо с решением (58) только при |
очень |
||||||||
малых постоянных |
С5 и Св и соответственно |
пренебрежимо ма |
|||||||
лом слагаемом, содержащем еа*х, так как |
бесконечное увеличе |
||||||||
ние последнего (7?->оо) противоречит |
физическому смыслу за |
||||||||
дачи. В результате |
получаем |
|
|
|
|
|
|||
|
у2 |
^ |
е агХ |
(Cr cos ol2x + С8 |
sin сс2х). |
(60> |
|||
Используя |
начальное |
условие (32), |
находим Ci = — Сз, |
Сг = |
|||||
= С4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя С3 и С4 |
постоянными — Сі |
и С2 , преобразуем |
реше |
||||||
ние (57) для |
ус |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уі = |
2С] cos ocjх sh |
- j - 2C2 sin ajX ch |
-f- <px. |
(61) |
|||||
Для определения остальных произвольных постоянных доста |
|||||||||
точно четырех граничных условий (33). |
|
|
|
|
|||||
Выполним |
предварительно трехкратное |
дифференцирование |
|||||||
решения (61): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для первого участка |
|
|
|
|
|
|
|||
|
yi = |
2ai [(Ci + |
C2 ) cos a^x ch„ at x |
- j - |
|
||||
|
+ ( C 2 |
— C^sinajX sh оцх] -)-<p, |
|
|
|||||
|
yi==4a? (C2 COS a-iX sh оцх — |
|
|
(62) |
|||||
|
— Cj sin o^x ch a[X), |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
yI'==4a? [(C2 — Q) COS a,x ch o^X — |
|
|||||||
|
—-(C2 +Ci)sin o^x sh <X[X]; |
|
|
|
|||||
для второго участка |
|
|
|
|
|
|
|||
у'2=а.2е~*іХ |
[(С8 — С7 ) cos a2 x — (C8 -f-C7 ) sin a2 x], |
|
|||||||
y"2—2a\e~a%x |
(—C8 |
COS a2 x-f- CV sin |
a2 x), |
|
(63) |
||||
У 2 = 2 а ^ ~ а ^ |
[(C 8 +C 7 ) COS a2 x - (C7 - |
C8 ) sin a2 x]. |
|
||||||
Граничные условия (33) можно записать следующим об разом:
1) |
2С[ cos a{rsh a!r-f-2C2 sin c^rch |
a,r-j- |
|
|
|||
|
|
+ (fr=e~"hr(C7 |
cos a2 r-f- C8 |
sin a2 r), |
|
||
2) a! [2 (C[ - j - C2 ) cos c^r ch ^r - f - 2 (C2 — Q) sin a.xr sh a,r] -f- |
|||||||
+ |
cp=а2 е~*г Г [(C8 - C7 ) cos a2 r - ( C 8 - f C7 ) sin a2 r], |
|
|||||
3) |
af (2C2cos ajrsh a!r-]-2Ci sin ajr ch a^) |
= |
|
||||
|
|
= a2 e_ a 'r (—C8 cos a2 r-|- C7 sin a2 r), |
|
||||
4) |
a? [2(C2 — C,)cos a,rch alr — 2(C2-{-Cl)s'malrsh |
at r] = |
|||||
|
= |
а2 е~а г Г [ ( C 7 + C 8 ) cos a2 r — (C7 — C8 ) sin a2 r]. |
|||||
Разделив |
обе части равенств (64) |
на |
а 2 |
в соответствующей |
|||
степени, |
а .затем исключив |
постоянные |
С7 |
и Cs, можно получить |
|||
выражения для С І и Сг в виде функций от cp, аі, аг и г. Для этого разделим обе части уравнения на а2 , а уравнения 4) на а | и обо значим — = у . После замены
а2
Т[2 (С, -(- С2 ) cos а;Г ch a,r- f 2 (С2 — С,) sin c^r sh а,г] -4-
+ ^ - = е - " 2 Г [ ( C 8 - C 7 ) c o s a 2 r - ( C 8 |
+ |
C7 )sina2 r], |
(65) |
||||
73 [2 (С2 |
— Cj) cos |
ch агг — 2 ( С 2 + C j ) sin ajr sh a,r] |
= |
||||
= |
е _ а г Г [(С7 + |
С8 ) c o s V - (С7 |
- |
С8 ) sin а2 г]. |
(66) |
||
Сложим почленно выражения (65) и (66): |
|
|
|
||||
7 [С2 (1 + Т 2 ) + С, (1 - Т 2 ) ] cos a,rch a , r + Т |
[C2 (1 - f ) |
- |
|||||
— Cj (1+72 )] sinajrsh ^r-\—^-==e~°'zr(C8cos |
|
|
a2 r — C7 sin a2 r). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(67) |
Вычтем почленно (66) из (65): |
|
|
|
|
|
||
7 = [C 2 (l - f ) + С, (1 |
cos a,r ch a , r + T [C2 (1 + f ) |
- |
|||||
— С, (1 — T2)] sin a,r sh air -\--^—=е~агГ |
(—C7 |
cos a2 r — C8 sin a2 r). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(68) |
Подготовив таким образом исключение произвольных посто |
|||||||
янных Сі и С8 , получим первое уравнение, |
содержащее |
только |
|||||
С\ и С2 . Для этого сложим почленно выражение |
(67) с уравне |
||||||
нием 3) системы (64): |
|
|
|
|
|
|
|
Сі [тО ~-72 )cosa1 rcha1 r — f (1-}~72 )s i n |
a i r s n |
a i r — " |
|
||||
— 272 sin o^r ch axr\ -j-C2 [7(1 - j - T 2 ) c |
o s a i/"ch c^r-f- |
|
|||||
+ 7(1 — 72 )sina1 r sh a!r-(-272 cosairsh |
o^r] - ( — ^ - = 0 . |
(69) |
|||||
Для |
определения второго |
уравнения, |
содержащего Сі и С 2 г |
|
сложим |
почленно выражения |
(68) и уравнение 1) системы (64). |
||
После преобразования находим |
|
|
||
|
С, [2cosairsh a 1 r + T ( l + f 2 ) c o s a 1 r c h |
ъхг— |
||
|
— If (1 — т2 ) sin o^r sh a,r] -4- C2 [2 sin ахг ch |
ajr-f- |
||
|
+ т (1 — f2 ) cos atr ch a i r + T ( 1 + T 2 |
) S i n a i r s n |
a i r ] + |
|
|
+ ^ K ^ 2 - ) = 0 - |
|
<7 0 > |
|
Для соединений исследуемых размеров аргумент а.\г прини мает значения от 2,5 до 3, следовательно, shair^chair . Учиты вая это, приводим (69) и (70) к виду
Сії О + Т) [0 - Т) cos «,г - (1 + т ) sin a,r] +
|
+ |
С 2 Т (1 + |
т) [(1 + Т) cos a |
i r + ( l - |
|
-г) sin М + 2 а Д а і Г = 0 , |
(71) |
||||
|
|
Сії (1 + ї ) [(1 + ї ) cos а,г - ( 1 - |
ї)sin а,г] |
+ |
|
||||||
|
|
+ |
С2І |
(1 + Т ) [(1 + Т ) sin a t r + ( 1 - |
T ) cos в 1 г ] |
+ |
|
||||
|
Решая совместно (71) и (72), находим Сі и С2 : |
|
|
||||||||
|
|
<f> |
|
COS а.\Г— Sin a;/- |
tpr [(1 + |
7) COS а\Г + (1 — 7) sin а\Г\ |
|||||
|
|
S h ^ r |
' |
4^a2 (1 + |
7) |
|
|
472 (1 + |
sh at r, |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(73) |
r |
|
у (COS сцг + Sin a)/-) |
_ |
cpr [(1 + |
7) Sin a t r — (1 — 7) COS a t r ] |
,ч |
|||||
° 2 |
~ |
s h a , M 7 a 2 ( H - 7 ) |
|
|
|
4 7 2 ( 1 + 7 ) sh a j r |
• |
^ ; |
|||
уІ, |
Полученные |
выражения |
для d |
в |
и C2 подставляем в (61) для |
||||||
а последнее, |
в свою очередь, |
уравнение равновесия |
(35), |
||||||||
по которому, наконец, определяем искомую зависимость дефор мации соединения ф от нагрузки М.
Предварительно проинтегрируем уравнение равновесия (35), подставляя в него у І из (61):
г
М—2 j" Кх (—2С\ cos ajX sh a.:x — 2C2 sin oti x ch a{x) xdx —
0
=j r [{Cx — C2 )cosaI rcha1 r-T -(C1 -r -C2 )sina1 rsha1 r]-f-
(C2 cos |
sh |
— C\ sin c^r ch a.xf) | . |
(75) |
Найдем сумму и разность произвольных постоянных, входя щих в формулу (75):
р \ р |
|
9 |
cos |
<Х\Г |
|
(sin a t r + COS ctt r) |
|
|
2 |
~ |
~ 2cx2f (1 + |
Т) sh а і Г |
2f2 |
(і + 7 ) s h a i r |
' |
||
^ |
|
у Sin a t |
r |
|
cpr (cos Д]Г — Sin cc^r) |
|
||
C' 22 — - |
2a2T (1 + |
7) sh <!!/" |
|
2?2 ( l |
+ T ) sh a^r |
|
||
Подставим |
Cx и C2 в выражение |
(75) и упростим его, |
считая |
|||||
sh air— chair. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
* і т |
f |
г 2 |
1 |
\r(\-i) |
l_ |
|
|
« i T ( l + 7 ) • { - M r F V 1 |
- ^ ] } - |
го |
|||||
Полученная формула является расчетной для объемной де формации фобОна выражает зависимость объемной деформации соединения <р0б от нагрузки М, размеров и материалов деталей.
Если материалы вала и втулки имеют близкие характери стики упругости Е и pL, то ai = a2, у = 1, и формула (76) прини мает вид
М-- 2а
Для определения контактной составляющей <рп о в (см. фор мулу (56)) необходимо использовать максимальную объемную деформацию на границе участков (при х = г).
Для получения" максимальной объемной деформации уоб
на втором участке можно определить yi из (61) при х = г, под ставляя в нее значения постоянных Сі и С2 из (73) и (74) и по лагая, как и ранее, shair — chair, так как прогибы штифта на границе участков равны yi (г) = г/2 (г), а деформация основания на втором участке равна прогибу штифта для всех значений Х =
|
У ™ . =У1 ( 0 = - ^ [г (2т - |
- f ) - |
. |
(78) |
|||
При - ^ - = Y = 1 формула принимает вид |
|
|
|||||
|
« 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Усв.|х-г = У и м , = - ^ - ( 2 « — 1 ) . |
(79) |
||||
Так как сумма деформаций вала |
и втулки при Х = г равна <рг |
||||||
(рис. 9), то максимальная |
деформация |
вала |
составляет |
|
|||
|
УобЛ= |
Г = ^ - У т |
а * 2 И Н |
т |
+ |
|
( 8 0 ) |
гг |
a i |
1 |
|
|
|
|
|
П р и — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У О Б 1 = - ^ - ( 2 ^ + 1 ) . |
|
(81) |
|||
Точность приближенных значений у о б и у о б г тем выше, чем
больше аг, т. е. чем податливее штифт, больше диаметр вала и втулки и тверже материал основания.
Определим деформацию поверхностного слоя вала и втулки фпов, входящую в формулу (56) для полной деформации ф в пло скости штифта. Воспользуемся для этого выражением (41):
/ С у о б = А [ ( у п о . + У о Г - У о т ] , |
(82) |
уо— начальная деформация поверхностного слоя, |
вызванная |
предварительным натягом на поверхности штифта от усилия его
запрессовки. |
Она |
может быть |
подсчитана по |
формуле |
(49) |
Н. Б. Демкина. |
|
|
|
|
|
При начальном |
давлении |
на поверхности |
штифта |
р 0 = |
|
= 5 кГ/мм2, |
принятом в описанных экспериментах |
(см. гл. I ) , на |
|||
чальная деформация микропрофиля уо для соединений всех раз
меров равна 6,4 • Ю - 4 |
мм. |
|
|
т = 2, |
|
|
|
||||
Из |
(82) с учетом |
(78) и |
(80), принимая |
получаем |
|
||||||
|
Упов, = У^ЩГ |
ИГ + |
«2(1 + |
7 ) 1 + у 2 °' ~ |
У о 1 ' |
|
|
(83) |
|||
|
^ / ^ И 2 т - ^ ) - ^ т ^ ] + уУ2 -Уо2 . |
||||||||||
|
|
||||||||||
Угловая контактная деформация в плоскости |
штифта |
|
|||||||||
? п о в = 4 - ( Л о в . + У п о в , ) = - г { У ^ Шг |
I t + |
|
« 2 ( 1 + 7 ) |
1 |
+ |
||||||
+ y ^ t |
П2^т)- |
M T W I + & |
- |
<у»+^} • |
(84) |
||||||
Здесь фоб — решение уравнения |
(76). Полное значение дефор |
||||||||||
мации <р определяется по формуле |
(56) как сумма фоб и фП О в- |
||||||||||
При |
ai — a2 |
(т. е. у = 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
« - = + [ У - 9 Н ' + т ) + * + |
|
|
|
|||||
|
|
|
+ УЩг-^-)+у1-2Л]. |
|
|
|
|
|
(85) |
||
|
|
Метод линеаризации зависимости деформации основания |
|
||||||||
|
|
|
|
|
от нагрузки |
|
|
|
|
|
|
Второй вариант |
приближенного |
решения |
задачи |
(§ 9) |
ОСНО- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я |
і / |
я |
|
|
|
ван |
на |
замене зависимости # 2 = ^ ~ + |
у |
~д |
в |
некотором |
|||||