Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

энергии в конечной форме:

(а)

Т—Т0 = 2Ае.

Так как в начальный момент времени механизм находил­

ся в покое, то

т 0=о.

Тогда выражение (а) примет вид:

(б)

где Т — кинетическая

Т= 2Ае,

энергия механической системы

в мо­

мент времени,

когда механизм занимает положение,

на:

Т = Tq|Оо + Т„ + T a b + Тв ,

(в)

где То,о., Д и, ТЛв,

Тв — кинетические

энергии

кривошипа

O1O2,

колеса

II, шатуна АВ

и пол­

зуна

В.

Найдем кинетическую энергию кривошипа O1O2, учиты­

вая, что кривошип

совершает

вращательное движение

во­

круг оси Oi (рис. 73):

= “o^O, 0)2

J _

(

mO,Oo ' ° i ° 2 2

2

1

3

I P ,

1

50

= g- • -T T iO iO J2CO2

- g •

g-g •

0,22 •

a,2 = 0,034 to2 .

(r)

&

’

1

Найдем кинетическую энергию колеса II, учитывая, что

колесо II совершает

плоское

движение и что

мгновенный

центр скоростей колеса в данный

момент времени находится

в точке Рц (рис. 73):

Тц = -у - 1р„ • °>п2 ■

.

(д)

В выражении (д)

инерции колеса II относительно его мгно­

1Рм — момент

венного центра скоростей Рн;

шц— угловая

скорость

вращения

колеса

II в

данный

момент

времени.

1р,, =

1

3

=

1о, + ' т п ( ° 2рп)2 = —

т иг22 -г m„r22 = - ^ - т пг92

3

Р-,

3

20

= ~2~

■~1ГГ2 ~

~~2~ ' ~9~8 ‘ 0,12 = 0,03 кгм2 '

Подставив

значение

1рп =0,03

кгм2 в зависимость

(д),

получим:

1

0,03 ш,,2 =

0,015 ojj,2 .

(е)

Т„ = ~ 2 ~ •

Найдем кинетическую энергию шатуна АВ, совершающе­

го плоское движение:

Tab

wabs

(ж)

В выражении (ж)

1рдв — момент

инерции

шатуна АВ относительно

его

мгновенного центра скоростей Рдв;

соав — угловая

скорость

шатуна АВ в

данный

момент

времени.

Мгновенный центр скоростей РАв шатуна АВ при данном

положении шатуна совпадает с точкой В (рис. 73).

Поэтому

7

т

Ш ав • АВ2

Р3 • АВ2

Р АВ =

1в =

--------- 3---------

= -------3 i “

•

' Из

рассмотрения

ДД OiBPn и 0 2АРц (см. рис.

73)

на­

ходим:

АР,, =

т2 у

2 =

0,1 | /

2 — 0.14 м ;

АВ -

ВР„ -

АР„

= г, y Y

- Гз V~2 = V~2 (П -

га) =

= У~2 • 0,2 = 0,28 м .

Тогда

15 • 0.282

= 0,04 кгм2 .

3 • 9,8

Подставив значение 1рАВ =0,04

пгм* в зависимость (ж),

получим:

t

Tab = 4 “ ' °’04 ^ ав =

0.02 сь2АВ .

(з)

Найдем кинетическую энергию ползуна. В, учитывая, что

ползун совершает поступательное движение:

Тв = ~ mBvb2 •

При рассмотрении движения шатуна АВ было

найдено,

и, следовательно:

vB = 0

Тв = 0.

(и)

Подставив (г), (е),

(з),‘

(и) в выражение

(в), получим:

Т = 0,034 со2 + 0,015 со,,2 +

0,02 ш2ЛВ .

(к)

По законам кинематики найдем зависимость © и и © а в

от

и (рис. 73):

О)

vo2

со • О [02

0.2

о

■

(л)

и 2Нц

= — » = 2 » ,

VA = ю„АРи = (2 ш)(г2 у

2 ) =

2 •

0,1 у

2ш = 0,28 “ ;

Уа

0,28 со

со .

(м).

“ав =

АВ

0,28

=

Подставив зависимости (л) и (м)

в

(к),

получим:

Т = 0,034 со2 + 0,015 (2со)2 + 0,02

(со)2 =

0,114со2 .

(н>

Найдем -сумму работ всех внешних сил, действующих на

данный механизм.

М,

На механизм действуют силы Рь Рг, Рз, Рп момент

реакция Rb направляющих ползуна В и реакции xoi и

yoi

опоры Oi (рис. 73).

0 ,0 2.

При повороте кривошипа 0 i0 2

из

начального положения

в заданное на

угол

ср = 90°=^-рад

момент М,

приложенный

к кривошипу, произведет работу, равную:

А = Мер =• 25 •

=

39,4 нм .

(о)

Подставив выражения (.и),

(о )в

(б), получим:

Отсюда

0,114<в2=39,4.

39,4

ш

18,5

сек~1 .

0,114

Таким образом,

в момент времени, когда кривошип 0 i0 2

повернется на

угол 90°

от своего начального положения, его

угловая скорость

равна

18,5

сек~1.

Г л а в а

IX.

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ

МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

§ 36. Силовое поле. Потенциальные силы.

Потенциальная энергия

С и л о в ы м

п о л е м

называется часть пространства, в-

каждой точке

которого

на помещенную туда

материальную

ний этой точки, называются

' п о т е н ц и а л ь н ы м и

с и л а -

м и.

Примерами потенциальных сил являются:

сила тяже­

сти,

упругая сила пружины.

материальной точки

в

данном

Потенциальной энергией

П =Амо-

(171)

АМ0М, = По — Пь

(172)

лы совершат работу, равную

1 А = П о -П ь

(173)

нечном положении системы.

Подставив выражение (173) в зависимость (168),

выра­

жающую теорему об изменении кинетической

энергии меха­

нической системы, получим:

Т,—То=Ло—П)

или

T1+ n l = T0+ n 0=const.

(174)

Это и есть закон сохранения механической энергии:

при движении механической системы под

действием по­

тенциальных сил сумма кинетической и потенциальной

энер­