Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

Г л а в а X. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§38. Принцип Даламбера для твердого тела

имеханической системы

Пусть какое-либо твердое тело совершает движение в пространстве под действием сил Fb F2, F3 и F4 (рис. 74).

Для любой точки этого движущегося тела можно запи­ сать (на основании принципа Даламбера для точки):

где SFk — сумма всех сил, действующих на k-ую точку тела; Фк — сила инерции к-ой точки тела.

Сила инерции точки, как известно, определяется зависи­ мостью (см. § 12):

где шк — масса к-ой точки тела;

wk — ускорение k-ой точки тела.

Составивдля каждой точки движущегося твердого тела равенства (175) и затем сложив их (учитывая, что силы, с которыми точки твердого тела действуют друг «а друга, вза-' имно уравновешиваются), получим:

139

где 5F — сумма всех внешних сил, действующих на тело; ЕФк — сумма сил инерции всех точек тела.

Для данных на р.нс. 74 будем иметь: 2 F = F 1+ F2+ F 3+ F 4; БФк= Ф1 + Ф2+Фз+---

Зависимость (177) выражает принцип Даламбера для твердого тела:

движущееся твердое тело можно в любой момент време­ ни мысленно остановить и рассматривать как находящееся в равновесии, если ко всем внешним силам (SF), действую­ щим на данное тело в данный момент, добавить силы инер­ ции (ДФкД которые имеют все точки данного тела в этот момент времени. Для механической системы, состоящей из группы тел, принцип Даламбера выражается той же зависи­ мостью, что и для одного твердого тела:

Б Р + 2 Фк= 0.

Только в этом случае:

SF — сумма всех внешних сил, действующих на механи­ ческую систему;

ЕФк— сумма сил инерции всех тел данной механической системы.

При движении твердого тела каждая точка тела имеет свою силу инерции Фк, определяемую зависимостью (176).(

Чтобы сложить силы инерции всех точек данного тела, необходимо знать, как расположены эти силы.

Если силы инерции всех точек тела параллельны (см. рис. 75), то эти силы можно сложить по правилам сложения

Рис. 75

140

141

п главным моментом Мо“, равным сумме моментов всех сил относительно центра приведения О:

Для данных на рис. 77 будем иметь:

R11= Ф i-f- Ф2НФз> М0П= —М!+ М 2+ М 3.

§39. Определение сил инерции для тел, совершающих поступательное, вращательное, плоское и сложное

движения

Рассмотрим случаи определения сил инерции для посту­ пательного, вращательного, плоского и сложного движений тела.

а) П о с т у п а т е л ь н о е д в и ж е н и е т е л а

Пусть какое-либо тело совершает поступательное движе­ ние и в данный момент времени имеет ускорение w (рис. 78). Сила инерции каждой точки этого тела будет равна:

<Р

—7--/ /

Рис. 78

Складывая расположенные параллельно друг другу силы инерции всех точек данного тела, найдем равнодействующую этих сил R":

142

Из теории определения центра масс тела известно: У т кгк = т г с.

Взяв от обеих частей этого равенства вторую производ­ ную по времени, получим:

силы инерции данного тела приводятся к одной равнодейст­ вующей, проходящей через центр масс тела, направленной в сторону, противоположную ускорению тела, и равной про­ изведению массы тела на ускорение тела.

t

б) В р а щ а т е л ь н о е д в и ж е н и е п л о с к о г о т е л а 1

1) Пусть какое-либо плоское тело вращается в своей плоскости вокруг некоторого центра О, не совпадающего с центром масс С тела (рис. 79), и пусть в данный .момент вре­ мени телоимеет угловую скорость со и угловое ускорение е.

1

143

Каждая точка к этого тела при вращении тела будет иметь ускорение \vk, причем

Wk = wk" + wk* ,

где Wkn — нормальное ускорение точки к тела при вра­ щении тела вокруг центра О;

Wk • — касательное ускорение точки к. Сила инерции точки к тела равна:

Фк = - mkwk .

Силы инерции всех точек вращающегося в одной плоско­ сти тела будут расположены также в одной плоскости (пло­ скости вращения тела) (рис. 79).

Приведем эти силы к центру вращения О. При этом си­

массы тела на ускорение его центра масс, направлен в сто­ рону, противоположную ускорению центра масс тела, и при­

сительно какой-либо точки равен сумме моментов составля­ ющих векторов относительно той же точки. Поэтому

144

гося в своей плоскости вокруг центра О, равен произведению момента инерции тела относительно этого центра О на угло­ вое ускорение тела и направлен в сторону, противополож­ ную угловому ускорению тела.

Таким образом, при вращении плоского тела вокруг не­ которого центра О, не совпадающего с центром масс тела С, силы инерции тела приводятся к главному вектору сил инер­ ции RH, приложенному в центре вращения О и определяемо­ му по формуле (185), и главному .моменту сил инерции, дей­ ствующему в плоскости вращения тела и определяемому по формуле (.190).

Приведенные к центру О главный вектор сил инерции R“ и главный момент сил инерции Мо11, действующие в одной плоскости, можно сложить и заменить одной равнодействую­ щей. Для этого главный момент Мо“ представим в виде па­ ры сил (Rin; R211), взяв силу пары равной главному вектору R1 и приложив пару сил так, как указано на рис. 80.

Рис. 80

При этом плечо пары должло 'быть равно:

Силы R11 и Riu взаимно уравновесятся. Действующей си­ лой останется R2", линию действия которой продолжим до пересечения в точке К с прямой, соединяющей центр враще­ ния тела О с центром масс тела С.

Из рассмотрения рис. 80 заключаем: h = OK-sin а;

WC'

W С

sin я

Подставив значения h и \vc в выражение (191), получим:

Таким образом, для плоского тела, вращающегося в сво­ ей плоскости, приведенные к центру вращения О главный век­ тор сил инерции R11и главный момент сил инерции Мо" мо­ жно заменить одной равнодействующей R211, равной по вели­ чине и направлению главному вектору R'1 и приложенной в точке К, лежащей на примой, проходящей через точку, вра­ щения тела О и центр масс тела С на расстоянии

1о

ОК = ш • UC от центра вращения О (рис. 80).

Точка К приложения равнодействующей сил инерции вра­ щающегося тела называется центром качения тела.

146