Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.07.2024
Просмотров: 171
Скачиваний: 0
Учитьгеая факторизацию ( 2 . 9 5 ) , ( 2 . 9 6 ) , получаем
( 2 . 1 U 9 )
Таким |
образом, |
для нахождения |
A^(ccj |
, A_(x), |
Н+{хУ |
и |
||||
К_ (ос) имеем |
следующие |
уравнения: |
|
|
|
|
||||
основные |
уравнения |
( 2 . 9 8 ) , |
( 2 . 1 0 1 ) , |
( 2 . 1 0 3 ) , ( 2 . 1 0 5 ) |
||||||
и системы основных уравнений |
( 2 . 9 9 ) |
- ( 2 . 1 0 2 ) |
и ( 2 . 1 0 4 ) - |
|||||||
( 2 . 1 0 6 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Указанные |
уравнения |
однозначно |
разрешимы, |
что |
следует |
|||||
из факторизации |
оператора рассеяния |
и результатов г л . 1 . |
||||||||
Наибольший интерес представляет система основных урав |
||||||||||
нений |
( 2 . 1 0 4 ) - ( 2 . 1 0 6 ) , |
которую |
с учетом |
( 2 . 1 0 7 ) - ( 2 . 1 0 9 ) |
||||||
можно |
записать |
так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 1 1 0 ) |
( 2 . 1 1 1 )
J
t
-co |
( 2 . 1 1 2 ) |
Учитывая с в я з ь |
потенциала |
|
операторами |
преобразова |
||||||||||||
ния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cf(х,t) |
|
= -ZA^CxJ,0=2 |
|
|
A_f2(х,t,t), |
|
|
|
|
|
|||||
|
Cz(X,t) |
|
= |
|
|
-ZAw(x,t,0=2A_Jx,t,£), |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-2І |
|
|
|
|
|
( 2 . 1 1 4 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
получаем следующий способ |
восстановления |
потенциала |
по |
опе |
||||||||||||
ратору рассеяния. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т е о р е м а |
П.З. |
Пусть & = I+F |
— оператор |
рассеяния |
||||||||||||
нестационарной задачи для гиперболической системы ( 2 . 1 ) на |
||||||||||||||||
всей оси. Тогда |
существует |
$ ~ •= £ + £ / |
|
t где F |
|
и |
У |
- м а т |
||||||||
ричные интегральные операторы Г.-Ш. |
|
|
|
|
|
|
|
T - |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пусть |
известны |
ядра операторов |
F^ |
и |
5 ^ |
|
|
|
|
|
|||||
тема |
интегральных уравнений |
|
|
|
|
|
|
Тогда сие— |
||||||||
|
|
|
|
о1- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 1 1 5 ) |
||
|
e(t,) |
- |
\ CLltf |
У |
(12-хЛ |
+ X)d7l |
= k |
(£,) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
однозначно |
разрешима |
в |
& г |
для гпобых X |
и |
t |
и |
произволь |
||||||||
ных правых |
частей |
|
, hz(^,^^£ |
|
|
. Обозначим |
р е |
|||||||||
шение |
(CL,ff) |
|
системы |
( 2 . 1 1 5 ) |
при k = О , Ьг-'&2, |
(t-X,% |
+ x) |
|||||||||
через ( А . г г (x,t,t,), |
A+t1 |
(x,t,£, |
У) |
, |
а |
решение |
той ж е |
с и с |
||||||||
темы |
( 2 . 1 1 5 ) |
с правыми |
частями |
kf~F.£(i+x,%-x),h£=0 |
|
|
ч е |
|||||||||
рез (A_fg(x,t,£,), |
|
(х,t,&,)) |
|
, тогда |
потенциал С(х,£} = |
|||||||||||
~ic°(x t) ^ |
|
|
определяется |
через |
указанные |
|
решения п о |
|||||||||
средством равенств
Ct(x,t)=tA_a(x,t.t) |
, |
^(x,i)~-2A^(x,i,t). |
Аналогичный |
результат справедлив, |
если |
известны |
ядра |
опе |
|||||||
раторов |
F |
и |
У2і |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Т е о р е м а |
II . 4 |
. Система интегральных |
уравнений |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 1 1 6 ) |
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
однозначно разрешима |
при любых х |
и t |
и |
произвольных |
||||||||
правых |
частях |
kf(£,), |
Є Lг |
. Обозначим |
решение |
с и с |
||||||
темы |
( 2 . 1 1 6 ) |
при nf=F~gf(t-x,e,+x), |
Лг=£> |
|
через A (x,tfe,) = |
|||||||
-а |
, |
А |
(х,£,&,) |
- 8 |
, :а решение этой же системы при |
|||||||
|
|
|
h- - |
{/(t+x,q-x) |
через Л |
(х,і,^)= |
|
О- , |
. |
|||
А,., |
|
|
j \ |
Р |
• Тогда потенциал |
« |
, |
( |
0 |
е,<*>*>\ |
||
(х,£,£,)= |
° |
C(xt)=\ |
\Ct(x,t) |
] |
||||||||
и |
|
|
|
по формулам |
|
|
|
о I |
||||
определяется |
|
|
|
|
|
|
||||||
4 . Восстановление нестационарных потенциалов специального вида
а) Кососимметрический потенциал.
Рассмотрим важный |
случай |
кососимметрического |
потенци |
|||||
ала |
|
|
|
|
|
|
|
|
6(x,t) |
= -£*<x,t) |
,т . е . |
С/х,0=-Сг(х,0 |
. |
( 2 . 1 1 |
7 ) |
||
Л е м м а |
2 . 6 . Оператор |
рассеяния |
£> |
унитарен |
тогда |
и |
||
только тогда, |
когда потенциал |
СLoc,t) |
-кососимметрический. |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
, Пусть |
C(X,&)=-C*«JC,t) |
|
|||||
Тогда интеграл энергии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^uJLxjtf+^lJbifyx |
|
|
( 2 . 1 1 8 ) |
||||
на |
решениях |
|
да |
да |
ґ |
|
постоянен. |
системы ^7 - |
— о ^— + С (ос, t )и |
|
|||||
Действительно, |
Е~(и,и) |
и |
|
|
|
||
д£ |
Ida |
\ |
I ди\ |
( да |
\ ( |
ди |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 1 1 9 ) |
|
||
где |
(-да |
, и |
\ |
I |
,.ди\ |
)=0 |
п |
|
в |
силу кососимметрич- |
|
|||||
- I |
е > — |
] |
+ |
и , Ь |
— |
|
|
|
||||||||
|
дл |
І |
\ |
|
dccj |
да |
( |
|
, . |
_ 4 |
л |
ЕР |
• |
|||
носі-й |
оператора |
|
|
|
|
' |
, |
а ' + ( а > |
< - " / - ^ |
|||||||
силу |
кососимметричности |
^Г7*дг, О . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Если |
u(x,t) |
|
— решение задачи |
рассеяния, |
то при |
|
|
||||||||
и(сс,і) |
=-T.a(t) |
|
+ О СО |
|
|
, а при |
+ |
|
|
|
||||||
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
£ = |
|
(|а, W | Z |
+ \<xz(s)| |
|
= |
(|4(^|2H4^I |
|
1 2 0 ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. |
[I а || = )|£|| |
|
|
|
. Н о |
S = |
За. |
. Поэтому |
$ |
- и з о - |
||||||
метричен, а в силу существования |
i S - ' |
получаем, |
что |
$ |
— |
|||||||||||
унитарен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
^ " W . |
|
|
|
|
|
|
( 2 . 1 2 1 ) |
|
|||
Наоборот, пусть |
и!э -унитарен. |
Тогда |
в |
силу факторизации |
|
|||||||||||
( 2 . 9 4 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ = |
|
|
Л |
- |
* |
+ |
|
|
, |
|
. ( 2 . 1 2 2 ) |
|
||
а из |
( 2 . 9 3 ) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
£*= |
?х |
[1+Н?(сс))(Т+ |
|
К*(Х)Т'% |
. |
|
( 2 . 1 2 3 ) |
|
||||||
