Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.07.2024

Просмотров: 188

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Приравнивая

( 2 , 1 2 2 )

и ( 2 . 1 2 3 ) , имеем

(I

+ Н*(х))(Г

+ Л_ (х)) = Г ,

Отсюда легко

получаем, что

 

 

 

 

 

 

 

 

H?(jc,t,t)+Aj*,tt)=0,

 

 

 

K*(x,t,i)

+ At(ai,t,t)=0.

 

 

(2 . 1 - 25 )

В частности,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x,t.t)+АчгШ,t)=0,

 

 

К_г{

(х,t,і)+Ь+іг(я,t,t)=0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 . 1 2 6 )

H+is(x,

t, t) + A_2fcx, t,i) = 0,

 

K42(,x,t,t)i

\

g f (x,

t,t) = 0.

Выражая

Cf(x,t)

 

и С^(л,і)

через значения

ядер

операто­

ров преобразования на диагонали из

( 2 . 1 2 6 ) ,

получаем Cf(x,t)=

z^-Cs(x.,

t)

 

. Лемма

доказана.

 

 

 

 

 

 

 

Восстановление

кососимметрического'потенциала

по и з ­

вестному

оператору

рассеяния

упрощается,

ибо в

силу

унитар­

ности

оператора

рассеяния

iffZ

— F^

, ff^ = F*

 

, и поэтому

на основании

теоремы

I I , 3 и 11.4 получаем

 

следующий

резуль ­

тат:

 

 

 

ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

I I . 5 .

Кососимметрический

нестационарный

потенциал однозначно

восстанавливается по одному из коэффи­

циентов

отражения ^

или

F

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

Симметрический

потенциал.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctCa:,i)=

 

c t ( j c t t ) .

 

 

 

 

 

( 2 . 1 2 7 )

Согласно

п. 2

§

1 гл . 1 У рассмотрим

оператор

 

 

 

 

 

 

 

 

\0

J

 

 

Г д е

 

 

— о

 

є с т ь оператор рассеяния

для сим—

метрического

потенциала

С(зс,£)

 

 

 

^

Оператор

3

є с т ь

оператор рассеяния для потенциала

C(x,t)

— & С it,л.

)

. Если

C(x,t)

симметрический,

то

С

кососимметрический, и поэтому

для е г о

восстановления

согласно предыдущему пункту а) достаточно знать

либо

(?г^

. Учитывая,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 . 1 2 9 )

получаем следующий результат.

Т е о р е м а П . 6 . Для восстановления симметрического нестационарного потенциала достаточно знать один из коэффик. циентов отражения и один из коэффициентов прохождения, т . е .

достаточно знать

<$1£ или

6^

и £>i f

или

З г г

 

 

в )

"Четный*

потенциал.

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

ГІ.7. Пусть с1

(сс,£)

= -С^(<Х.,-£)

.

Тогда

для восстановления такого потенциала достаточно

знать

один

из коэффициентов

отражения

£>

или

 

 

 

 

 

Действительно, в силу

пункта в ) §

1

г л . 4 в

этом

случае

 

 

3 = eJ£~'Je .

 

 

 

( 2 . 1 3 0 )

И ПОЭТОМУ, ЄСЛИ ИЗВебТНЫ

t$fg И

,

T O

Jgf

 

легко

через них выражаются; \/{i—Jei{Cf

 

и

 

 

 

 

Тогда в

силу теоремы ГІ.З

и П. 4

получаем

справедливость тео—

ремы

11.7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

П . 8 .

Пусть

 

. cf(x,t

 

с£(-x,ij

.

Тогда

матрица

оператора

рассеяния

"дважды

симметрична": ^ > н — ^ г і І ,

 

«3/ г

—

 

 

, и поэтому для нахождения

 

потенциала

доста"-

точно

знать коэффициент прохождения и отражения.

 

 

 

 

Доказательство

следует

из

пункта

в)

S

1 г л . 1 У,

ибо для

рассматриваемых потенциалов

выполняется

т о ж д е с т в о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

( 2 . 1 3 1 )

 

 

г )

Вырожденный

потенциал.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

det

С

 

 

 

О

 

, т . е .

CiCx,t)-Cg(x,i)=0

.

Рассмотрим

простейшие

случаи.

 

 

 

 

 

 

I .

с^х^О^О

при

Х<0

,

ш.

Ct(x,t)

= 0

при

t<0

,

 

сг(л,і)=0

при

х>£>;

 

 

 

сЛх,і)

= 0

npnt>0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 . 1 3 2 )

II. C1(X,t)-0

при

JC>0

,

1 У .

cf(x,t)=0

 

при

t>0,

 

Cg(x,t)=0

при

x.<0\

 

 

Cz(X,t)=b

 

прч

t<0.

В

этих

случаях

система

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ди.

 

 

ди.

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=6-T-+C(x,i)u

 

 

 

 

( 2 . 1 3 3 )

допускает точное решение, что приводит к явной связи опера­ тора рассеяниі." и потенциала. Приведем соответствующие в ы р а ­ жения

і .

#„ = о ,

К , - о ,

 

 

2Z

 

•оо

( 2 . 1 3 4 )

S

п.

"

'

S3

'

( 2 . 1 3 6 )

'4-5 J**,

F,< а , < * Н

1У.

-s

ЛІ

' г

CLS(^)CL^ ,

( 2 . 1 3 7 )

 

 

В случае Ш можно

выразить

Ffg

через

, а

в случае

1 У

Fz1

через

{/^

, используя следующую

легко

доказываемую

лемму,

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

2 . 7 .

Пусть & —

 

 

— матрица

с

операторными

коэффициентами.

Если

существует

, о

 

и S" =

( 2 . 1 3 8 )

Используем лемму 2 . 7 в случае LII.

Учитьгоая, что 522 — T+F 22 —Т имеем

\0

I

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

Fiz

= -

У / 2

 

 

 

 

 

Переходя

к обратным

операторам

в равенстве

£ =

1

 

Уа\-*(~Го

O

i l

\F„I

получаем

также

#1 = -

F

и V n

 

= - F

2f

У

 

Рассмотрим

случай

1 У .

2Z

 

12

 

В э т о м ' с л у ч а е

 

 

 

Ги Ггг/ \ f f

1

0

I

Поэтому

в

случае

1 У

F£/ = - &if , F^ - - УІГ FiZ

и

*t -

F

-V

— -

F

 

§ 3 . Прямая и обратная нестационарная задача рассеяния для гиперболической системы на полуоси

 

Рассмотрим на полуоси

•> О

систему уравнений

 

 

 

аи„

дио

 

 

 

 

 

 

где

( r e , t)

—измеримые комплекснозначные

функции и

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

При

х=0

 

рассмотрим

граничное

условие

 

 

 

 

 

 

и,(О^)

= иг(0,г)

.

 

 

 

( 3 . 3 )

 

1 . Нестационарная задача рассеяния

 

 

 

 

 

Задача

рассеяния

для

системы

( 3 . 1 )

с граничным

у с л о ­

вием

( 3 . 3 )

ставится следующим' образом.

Требуется

найти р е ­

шение системы

( 3 . 1 ) ,

удовлетворяющее условию

( 3 . 3 )

и при

з с — к ^ о о

 

имеющее

следующую,

равномерную

по

t

.асимп­

тотику

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u,(x,&)=a(x*t)

+ 0(f)

,

+

 

 

 

( 3 . 4 ) .

Смотрите также файлы