Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

г де aix + t)

- заданная падаюшая

волна.

Л е м м а

3 . 1 .

Для

любой непрерывной, равномерно

о г ­

раниченной функции

(з)

существует

и единственно

реше­

ние нестационарной задачи рассеяния ( 3 . 1 ) - ( 3 . 3 ) - ( 3

. 4 ) .При

этом, если

a(j)

= 0

при

s •<• J-

, то при

Х.+1

і J-

u.t(x,i)-

и i±z(x,t)-0

. При jc-f-t-00

справедлива

асимптотика,

равномерная

по

t

и,(л,і)=

би-л)

+ 0(О ,

х-* +

( 3 . 5 )

где

"О

°0

( 3 . 6 )

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Легко

доказать,

что

задача ( 3 . 1 ) -

( 3 . 3 ) - ( 3 . 4 ) эквивалентна

следующей системе

интегральных

уравнений

задачи

рассеяния

a,(x,t)=

a (JC+f)

+

_ 0 0

( 3 . 7 )

uz(x,t)

= a(t-jc)

+

X

"О

Систему

( 3 . 7 ) перепишем

в виде

uf{x,t)-a(x+t)

+

ci(x

+ t-r>t)ue(x*-

t-T,

TjdT,

t-x

( 3 . 6 )

cf(i

-x

-т,т)a (t-л-Т,

Г)

dr

+

ce(T-t+x,T)ui(T-£-f

je,?)dT.

Существование

и единственность

ограниченного

решения-сис­

темы интегральных уравнений ( 3 . 8 )

следует из ее вольтер -

ровости

по переменной

t

на основании леммы

1 . 2

г л . 1 .

Рассмотрим систему ( 3 , 8 ) при

x + t^X

. Если

a(s)=0

при

5

,

то

свободный

член

в ( 3 . 8 )

равен

нулю при

A+t£rJl

и поэтому

при

/.+

t

<? Л

и,г(л,і)^.Оуі

u£(xJ)-0.

Если

функцию 6(s)

,

определенную равенством

( 3 . 6 ) ,

подстадить

во

второе

уравнение

( 3 . 7 ) , то

получим

оо

и.г(х,і)

= S(t~X)-

I cg(yy

6-x+y)uf(y,

t-x+y)dy.

( 3 . 9 )

X

Из этого равенства следует ( 3 . 5 ) . Лемма доказана.

Функция

S(t-jc)

представляет

собой

отраженную

волну.

Таким образом, решение задачи рассеяния

при х-*-+о°

асимп ­

тотически

представляет

падающую и отраженную

волгы:

uf(x,t)

= a(x

+ t) + ОСП

,

( 3 . 1 0 )

аг(х,£)=

Set-*,)*

0(0

,

х-> + °°.

Каждой

Аункцни GL(s)

(-сю<s<-*oo)

t

задающей

падающую в о л ­

ну a.(X+t)

,

однозначно соответствует

функция 8(s)

(-oo<s+°°))

определяющая отраженную волну. Оператор 3

,

переводящий

a(s)

в

S(J) ,

называется

оператором рассеяния

нестационар­

ной

задач

рассеяния

на

полуоси

для системы ( 3 . 1 )

с

гранич­

ным

условием

( 3 . 3 )

Si<s) = $acs> .

( 3 . 1 1 )

Интегральные

уравнения ( 3 , 7 ) можно

преобразовать

с

учетом

( 3 . 6 ) так,

чтобы

они не содержали функции а

.

А именно,

легко получить систему

интегральных

уравнений

Относительно

системы ( 3 . 1 2 )

справедливо

утверждение,

ана ­

логичное

лемме

3 . 1 .

Л е м м а

3 . 2 .

При

любой непрерывной, равномерно

о г р а ­

ниченной

функции

8(s)

существует и единственно

ограниченное

решение

системы

( 3 . 1 2 ) .

При

этом,

если

б(б)=й

при s

J-,

то при

u1Cx,t)-D

и

аг(х,£)-

О

Рассмотрим систему интегральных уравнений, содержащих

первое

уравнение

из

( 3 . 7 )

и второе

из ( 3 . 1 2 ) , т . е .

u , ( x , t ) =

а(х +1) +

ct(y,x+

t-y)иг

(ух+

t,-y)dy,

*

( 3 . 1 3 )

u2(x,t)=

S(t-X)-^

сг(у,і-х+у)иг(і/,

t-t-tyidu.

X

Решение этой системы уравнений, согласно

лемме

2.3 настоя ­

щей главы, можно записать, используя операторы

преобразова­

ния, в

виде

сто

и4

(x,t)

= a

ix+1)

+\

(х,

t,t,) а < х + ё,)d£y

+

і

+

н , j x , t

А)&А-*)*Ь

,

( 3 . 1 4 )

О О

ug{X,ij=

3(t-x)+J

Hf_(x,tA)a-(t>

+ x)d£,

+

і

где ядра

при фиксированном х

являются ядрами Гильберта-

Шмидта

связаны

с потенциалом равенствами