Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

а при

t ъ

^

І-

( 3 . 1 9 )

Определим

вольтерровские операторы

Гильберта-Шмидта А+ ,

В+ ,

А

п В

при помощи ядер

Полагая Jt = 0

, из ( 3

. 1 8 ) - ( 3 . 1 9 )

с учетом

( 3 . 2 0 ) полу­

чаем

~

Н(_(0)

+ H1fW)F

=

A+-H^(0),

F*H2J0)

+• Hi+(0)F =

~

Hif(0),

( 3 . 2 1 )

і/ + H

(0) + Hf_ (0)

& =

A_-HfJ0),

Находя

Hj+iO)

из

третьего

уравнения ( 3 . 2 1 )

и

подставляя

в первое

уравнение,

а также

находя ^г_(0)

из

второго

Fi/~

f/F=-

F-

іґ

,

следующие

равенства ;

( I M J 5 = ( / M ^

,

U

.

( 3 . 2 2 )

Из ( 3 . 2 2 )

получаем,

что

А+-В+

,

Л_-В_

и

ё>^СГ

+ А_У\[

+ А+

) ,

( 3 . 2 3 )

т . е . , ч т о

оператор рассеяния допускает

левую факторизацию.

Теорема

доказана.

3 . Обратная задача рассеяния

Под обратной задачей рассеяния будем понимать задачу

восстановления

уравнения

( 3 . 1 ) ,

г.е. функций Ct(x.,£) и

Сг(х,іг)

по известному оператору рассеяния if>

Из

факторизации

( 3 . 1 6 )

и формул ( 3 . 1 5 )

можно

опреде­

лить

по

£>

значение

потенциала

при

л=0

. Для лахожде—

ния потенциала

при любых значениях

ас.

естественно

р а с с м о ­

треть

задачу рассеяния для системы ( 3 . 1 ) с о

сдвинутым п о ­

тенциалом

k(x,t)-:.C(x+cc0,t)=\

( 3 . 2 4 )

лом ( 3 . 2 4 )

через £(х0)

.

Учитывая^

что операторы преоб­

разования от сдвинутого

потенциала

(эс)

выражаются

через исходные

по формулам

H(^\x)=Hkt(x+xa);

к=<Л

•

( 3 . 2 5 )

из ( 3 . 1 6 ) .

получаем

З ( х . ) = [/+

Ни(хе)-

Ии№в)]

4

[I

t Hf_ [х,) -HgJxej\

. ( 3 . 2 6 )

этого,

операторы

F(x)

= 6(x)-I

,

if(x)

= £(xf{-I

( 3 . 2 7 )

являются интегральными операторами Г.-Ш., ядра которых

обозначим

через

F(x,t,t,)

н

if

ix^t

,

Прнх

= 0

F(0,t,£,)

=

Fit,*,)

и

&(0,t,t,)=

Vlt,b>

Оказывается,

что и при

sc> О

ядра

F(x,£,£,)

,

if і х,£,£,)

тесно

связаны

с

ядрами

F(ttB,)

7 if

(t,£,)

Л е м м а

3 . 3 .

При любом

ос>, О

F(x,t,£,J=

F i i - x ,

£> + х)

при

( 3 . 2 8 )

ifix,t,B,)=i/Ui-xf^~jc)

при

( 3 . 2 9 )

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Из

( 3 . 1 8 )

путем

вычитания

полу­

чаем;

что при

( 3 . 3 0 )

Принимая

при

левую часть

( 3 . 3 0 )

з а

ядро

некоторого

оператора

к+(Х)

,

перепишем ( 3 . 3 0 ) в

операторном виде,по­

лагая F

-ос

+ х)

ядром

оператора

F

,

H 1 J ^ ' H 2 J X ) -Іґ~ Hi+ ' х ) + Иг,

<•*>] ^ = ( л ) >

( 3 . 3 1 )

отсюда

^(xi~Fx=[l-Ht(x)*HzJx^'f(I^^

їх)),

( 3 . 3 2 )

или

F(x) -Fx=\[-Нп(л)+

Н^(л\~'СГ+

•

( 3 . 3 3 )

Учитывая,

что

правая

часть

( 3 . 3 3 ) е с т ь вольтерровскин

опе ­

ратор с переменным верхним

пределом,

делаем вывод,

что при

tit,

т.е.

F<x,£,t,)

=

F(t-x,b+sc>

при

,

Аналогично

доказывается

на

основании

( 3 . 1 9 )

и второе

у т ­

верждение

леммы.

Замечание к лемме 3 . 3 .

Утверждение

леммы можно

з а ­

писать в операторном

виде

F(^=(T^FTX).,

( 3 . 3 4 )

У,(*)=(ГХІ/ГХ),

.

Таким образом, если известен оператор

рассеяния &

, то

при

помощи ( 3 . 3 4 )

можно

найти

вольтерровские

срезки

F_ (зс)

и

$(сс)—

I + Fїх)

и множители

в факторизации

( 3 . 2 6 ) .

Это

замечание,

в м е с т е

с

( 3 . 1 5 ) ,

приводит

к следующей

теореме

единственности

в

обратной задаче .

Т е о р е м а 11.10 .

Нестационарный

потенциал

в задаче

( 3 . 1 ) - ( 3 . 4 ) однозначно

определяется

по

оператору

рассеяния.

Д о к а з а т е л ь с т в о

'. Пусть существует

два

потенциала ..

cl'kcc.t)

, C^(x,t)

и

с'"(л^)}

сс^(л,Ь)

,

которым

с о о т в е т ­

ствует один

и тот

же

оператор рассеяния.

Согласно

замечанию

к лемме

3 . 3

и формул

( 3 . 1 5 )

получаем

равенства

^ Ц ^ < ' ' } / , / ) - ^ , . г , ^

^ J = < V , O ^ W ; ( 3 . 3 6 )

о о

( 3 . 3 7 )

X

Рассматривая

(3.31)

как линейные

интегральные

уравне­

ния

относительно

Vf и

у^,

, в

силу

( 3 . 2 ) их однородности и

вольтерровости

по переменной х

, делаем вьгеод, ч т о ^ = - \ £ г # .

Таким образом,

C^\x,t)

=

£("(x,t)

,

(к-/,2).

Теорема

доказана.

По

существу,

при доказательстве

теоремы її. Ї О использо­

вана

явная с в я з ь

потенциала с оператором рассеяния,- Эта

с в я з ь приводит

к

нелинейной

системе

уравнений типа ( 3 . 3 5 ) с

известной

правой

частью. К сожалению,

эти нелинейные

уравне ­

ния

трудно

использовать

в качестве алгоритма нахождения по -