Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.07.2024
Просмотров: 174
Скачиваний: 0
С |
другой стороны, |
ядра операторов преобразования |
|||||
Ик4 (х, |
t,£,) |
удовлетворяют |
уравнениям |
( 3 . 1 8 ) - |
|||
( 3 . 1 9 ) , |
которые соответствующей группировкой приводятся |
||||||
к системе |
( 3 . 3 8 ) |
относительно |
(Hf_, |
с |
правыми |
||
частями |
(0Г |
- {/(£ |
+>(., 4 |
- л ) ) |
и относительно |
(М^,^^) |
|
с правыми |
частями |
(~F(t-X |
°) |
. Формулы |
|||
( 3 . 3 9 ) |
следуют из |
( Э . 1 |
В ) . |
|
|
|
|
Г Л А В А |
III |
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ
СТРУНЫ НА ПОЛУОСИ
§ 1 . Корректная задача бе з начальных данных
Для гиперболических уравнений хорошо изучена задача Коши. Однако в ряде случаев необходимо определить решение уравнения по правой части, не привлекая начальные условия. Так бывает в случае, если изучается решение при больших значениях времени, когда возмущение, вызванное начальными . данными, расходится, и основную роль играют лишь источники волн, являющиеся правой частью уравнения. Такая, ситуация возникает , в частности, при решении нестационарных задач рассеяния. Характерной чертой задач бе з начальных данных является то обстоятельство, что это задачи на непрерывном спектре, и поэтому для корректной постановки задачи прихо дится привлекать некоторые условия на бесконечности, аналог общеизвестных условий изучения Зоммерфельда для уравнения Гельмгольца.1
В настоящем параграфе изучается такая задача без в о з мущенного уравнения струны на .полуоси.
1 . Постановка задачи
Рассмотрим неоднородное уравнение струны dzU(X,t) d*U(x,t)
~й> S T а л )
а также возмущенное нестационарным потенциалом уравнение
|
|
+6(x,{)U(x,t)-p(x,i). |
( 1 . 2 ) |
|
dt* |
/?Хг |
|
|
|
Будем |
искать |
решения |
этих уравнений при в с е х - 0 0 < £ < + «» |
|
и О < х. <0 |
0 |
, удовлетворяющие граничному |
условию |
|
|
|
11(х,Щ |
=0 |
( 1 . 3 ) |
|
|
I |
х~0 |
|
и удовлетворяющие условиям излучении Фока
U(x,t)\ |
tC, |
dU |
і |
|
|
і дії-І І С |
|
|
|
( 1 . 4 ) |
||||||
|
|
|
|
|
0а |
|
|
|
dt |
' |
|
|
|
|
|
|
дії |
|
|
dU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
_ |
+ |
|
|
•>- о |
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|||
дх |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стремление |
к |
нулю |
в |
условии ( 1 , 4 ) |
— равномерном no |
|||||||||||
(-оо |
t |
+ |
о о ; , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В настоящем параграфе будет показано, что при опреде |
||||||||||||||||
ленных |
условиях |
гладкости |
и убывания на |
бесконечности, |
на |
|||||||||||
ложенных |
на |
функции |
?(X,t) |
|
и p(x,t) |
, |
существует и |
един |
||||||||
ственно |
решение |
задачи |
( 1 . 1 ) — ( 1 . 3 ) — ( 1 . 4 ) |
и задачи |
( 1.2.) — |
|||||||||||
( 1 . 3 ) - ( 1 . 4 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 . |
Единственность |
решения |
|
|
|
||||||
Л е м м а |
І . І . |
|
Решение |
задачи |
( 1 . 1 ) - ( |
1 . 3 ) - ( 1 . 4 ) |
|
|||||||||
единственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
, |
Предположим, |
что |
существует |
два |
|||||||||||
решения |
указанной задачи. |
Тогда их |
разность |
U(x,£) |
удов |
|||||||||||
летворяет |
однородному уравнению |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
граничному |
условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
U(0,t) |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
( 1 . 6 ) |
||
и условиям |
излучения |
Фока |
( 1 . 4 ) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение |
задачи |
Коши |
для |
уравнения |
( 1 . 5 ) с граничным, |
|||||||||||
условием |
( 1 . 6 ) |
и начальными |
данными при |
t~ta |
имеет при |
|||||||||||
sKii-tB |
|
|
|
|
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
( 1 . 7 ) |
|
г j |
||
|
||
t'X-t„ |
|
I P O
Из |
формулы |
( 1 . 7 ) получаем, что для любой точки (X,t) |
при і |
~ ° ° |
справедливо равенство |
|
|
'3U(u,ta) |
|
|
|
|
dllii/Jo) |
|
|
|
|
( 1 . 8 ) |
||||
|
2 |
|
д, |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из ( 1 . 8 ) |
легко |
получаем |
|
оценку |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
\U(x,t)\±x |
• |
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
( 1 . 9 ) |
|
|
i-x-t0&yit |
+ |
x-t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Учитывая, |
что |
из |
условия |
уё |
[I |
-Х- |
t 0 t |
t + |
х-£0~] |
|
||||||
и |
|
следует, |
|
что |
и |
|
у - ^ - + <х> |
, |
а |
также |
исполь |
|||||
зуя условия излучения Фока ( 1 . 4 ) , |
получаем, |
что правая часть |
||||||||||||||
неравенства ( 1 . 9 ) при i0-^~~°° |
|
|
стремится |
к |
нулю. |
Таким |
||||||||||
образом, |
U-(x,t) |
— О |
для |
|
любой |
точки |
(x,t) |
|
. |
Т е м |
самым |
|||||
доказана |
единственность |
решения |
задачи. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 . |
|
Существование |
решения |
|
||||||||
Л е м м а |
1 . 2 . Пусть |
правая |
часть |
уравнения ( 1 . 1 ) |
||||||||||||
р(х,£) |
удовлетворяет |
условию |
|
|
|
|
|
|
||||||||
\р(х,Ь\ |
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
& |
>0, |
|
1 . 1 0 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+t-T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
U(x,i) |
= |
p(y,€)dy. |
|
|
|
d? |
|
p(y,*:)dy |
|
( 1 . 1 1 ) |
||||||
|
2^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- оо |
i'-X-t |
|
|
|
|
|
t-X |
|
x-t+? |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
является |
решением |
задачи |
|
( 1 . 1 ) - ( |
1 . 3 ) - ( |
1 . 4 ) . |
|
|
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
|
. Непосредственно |
проверим, что |
||||||||||||
( 1 . 1 1 ) |
является решением |
|
задачи ( 1 . 1 ) — ( 1 . 3 ) — ( 1 . 4 ) . |
|||||||||||||
Из |
( 1 . 1 1 ) |
легко |
получаем, |
что |
U (0,t)•=• О |
|
, т . е . |
|||||||||
граничное условие |
( 1 . 3 ) |
выполняется. Покажем, |
что |
U(x,£) |
||||||||||||
1 0 1
равномерно ограниченная функция. Действительно, из ( 1 . 1 1 ) получаем, учитывая ( 1 . 1 0 ) , что
d<r \p(y,t)\dy4,
-\
dt
— с d < +00
Производя |
дифференцирование |
( 1 . 1 1 ) , |
имеем |
|||||
|
|
і |
|
|
|
|
|
і-ас |
dU(x,t)_ |
/ |
p |
(x + t- |
|
rrr)dr- •f |
p(t-x-T,T)dT+ |
||
Jt |
J |
|
||||||
+—p(X-t+T,T) |
|
dr |
f |
|
|
|||
i-x |
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 1 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dU(x,t)_ |
f |
p(X |
+ |
|
t-T,T)dT+- |
p(t-x-T,T)dT- |
||
|
|
|
||||||
dx |
г-a) |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-00 |
|
p(x-t+r,T) |
|
|
|
dT, |
|
|
||
i-x |
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 1 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из равенств ( 1 . 1 2 ) |
и |
( 1 . 1 3 ) |
можно |
получить равномерную |
||||
ограниченность |
первых |
производных функций U (х, t) . Оста* |
||||||
лось проверить последнее условие излучения. |
||||||||
Из ( 1 . 1 2 ) |
и |
( 1 . 1 3 ) |
получаем |
|
||||
|
dU |
|
dU |
|
Г* |
|
|
|
|
OIL |
+ |
= |
P(x+t-T,Z)dT. |
||||
|
— |
|
J-00 |
|||||
|
ox |
|
dt |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 0 2 |
|
|
