Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.07.2024
Просмотров: 176
Скачиваний: 0
Откуда, учитывая |
( 1 . 1 0 ) |
, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
dU |
6U |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
дх + |
~дї |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
\ |
dt |
|
о |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
и+\х\)1+ь |
|
J |
u + |
|
\t\)ut |
|
|
|
( 1 . 1 4 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Стремление |
к |
нулю |
в |
( 1 . 1 4 ) |
- |
равномерное |
по |
t |
при |
||
условии |
сс-ь-оо |
|
t т . е . фуігкиия |
U(x,t) |
удовлетворяв |
|||||||
ет |
условиям |
излучения |
( 1 . 3 ) . |
|
|
|
|
|
||||
|
Функция |
U(x,t) |
|
, |
даваемая |
( 1 . 1 1 ) , представляет |
с о |
|||||
бой |
свертку правой |
части |
p(x,t) |
|
с запаздывающей |
функци |
||||||
ей |
Грина |
для |
уравнения |
( 1 . 1 ) , а |
поэтому удовлетворяет э т о |
|||||||
му |
уравнению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 . Задача для возмущенного уравнения
Рассмотрим задачу ( 1 . 2 ) - ( 1 . 3 ) - ( 1 , 4 ) для возмущенного уравнения.
Будем предполагать, что
\fix,i)\± |
- — _ _ £ |
_ _ _ _ _ |
_ _ _ |
? £.>а |
( 1 . 1 5 ) |
|
\c(x,t)\ |
4 |
|
|
_ |
> о |
( 1 . 1 6 ) |
Используя |
лемму 1 . 1 |
и 1 . 2 , |
получаем, |
что задача |
( 1 . 2 ) - |
|
( 1 . 3 ) — ( 1 . 4 ) эквивалентна |
следующему |
интегральному уравнению |
||||
п пространстве |
|
|
|
|
|
|
і-х |
і+х-ї |
І |
|
|
|
|
|
|
|
C(tf,f)U(ff.t)clT, |
( 1 . 1 7 ) |
||
|
J |
|
|
|
|
|
0 0 |
i-x-t |
І-х |
x-t+T |
|
|
|
I 0 3
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i-x. t + x-f |
|
|
t |
Xt-i-Ґ |
|
|
k(x,t) = |
|
|
|
|
|
d? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 1 8 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
( 1 . 1 7 ) запишем в |
операторной форме |
|
|||||
где |
|
|
и, — h + А и |
|
|
( 1 . 1 9 ) |
||
i-cc Ьх-Х |
|
t |
|
x.+t-t |
|
|||
|
|
|
|
|||||
Au=-i |
dr |
|
|
|
dr |
|
c(y,T)U(ytZ)dt/. |
( 1 . 2 0 ) |
|
t-x-T |
|
i-x |
|
X-tfT |
|
||
Для функций из |
C(Ea) |
введем |
норму |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
вир |
|
\u(x,t)\ |
( 1 . 2 1 ) |
|
|
Используя |
норму ||.|| |
, |
определение ( 1 . 2 0 ) |
операто |
|||
ра А |
и оценку |
( 1 . 1 6 ) , |
легко |
получить, что для тобой |
||||
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
\\Ьи\\т^«-1Т)\\и\\т4т , |
( 1 . 2 2 ) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
<* (Г) = • |
\C(y,r)\dr. |
|
|
|
£>а. |
(1 . 23 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
10'1
Таким образом, |
в с е |
условия леммы |
1 . 2 |
|
г л . 1 |
выполняются. |
|||||||||
Тогда |
существует и единственно |
решение |
уравнения |
( 1 . 1 8 ) |
|||||||||||
в пространстве С'(£г) . |
|
Так как |
задача |
|
( 1 . 2 ) - ( |
1 . 3 ) - ( 1 . 4 ) |
|||||||||
эквивалентна |
уравнению |
|
( 1 . 1 8 ) , |
то |
приходим |
к |
следующему |
||||||||
результату. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Л е м м а |
1 . 3 . |
Существует |
и |
единственно |
решение з а |
||||||||
дачи ( 1 . 2 ) - ( 1 . 3 ) - ( 1 . 4 ) , |
если |
C(X,t) |
и ptx,t) |
удовлетворя |
|||||||||||
ют |
условиям |
( 1 . 1 5 ) , |
( 1 . 1 6 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
§ |
2 . Задача |
рассеяния для |
уравнения |
струны на |
полуоси |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 . |
Постановка |
задачи |
|
|
|
|||||
|
|
Рассмотрим для возмущенного уравнения струны на полу |
|||||||||||||
оси |
|
О £ X й 0 |
0 |
следующую |
нестационарную |
задачу |
рассеяния. |
||||||||
Требуется найти |
решение |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dZLL(X,t) |
|
|
дги.(х,і) |
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 1 ) |
||
|
|
dt2- |
|
|
д х г |
|
1 C(Xj) |
|
LL(X,t) |
|
=0, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
удовлетворяющее |
краевому условию |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
U(0,t)=0 |
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 2 ) |
||
к имеющее вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
U(X,t)-a |
|
|
(t-fx)^ |
|
V(X,t) |
, |
|
|
|
( 2 . 3 ) . . |
||
где |
a(t+x) |
|
- заданная падающая волна, a |
V(x,t) |
- р а с |
||||||||||
сеянная волна, которая |
равномерно |
по |
t |
удовлетворяет у с л о |
|||||||||||
виям |
излучения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
\Уіх,і)\йс:, |
|
|
дУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 4 ) |
||
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
Jt |
|
|
|
при |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. 0 5
|
Отметим, |
что в |
стационарном случае, когда |
потенциал |
||||||||||
не зависит |
от |
с , |
а |
падающая |
волна |
alt |
+ X ) = e |
|
|
, |
||||
задача ( 2 . 1 ) - ( 2 . 4 ) |
сводится разделением |
переменных |
к |
обыч |
||||||||||
ной задаче |
рассеяния |
для уравнения |
Штурма—Лиувилля |
|
|
|||||||||
|
В дальнейшем будем -предполагать, что потенциал |
|
C(x,t) |
|||||||||||
мажорируется функцией |
|
|
|
|
|
|
,где |
t>0 . |
||||||
|
Т е о р е м а |
III. 1 . |
Пусть |
a(S> |
- непрерывно |
дифферен |
||||||||
цируемая и равномерно |
ограниченная |
функция. Тогда сущест |
||||||||||||
вует |
и единственно |
решение |
u(x,t) |
нестационарной |
з а д а |
|||||||||
чи рассеяния ( 2 . 1 ) - ( 2 . 4 ) . |
Это |
решение при |
,х-*°о |
предста |
||||||||||
вимо |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(X,t) |
= atf+x)-8U-x) |
|
+ 0(1') г |
|
|
( 2 . 5 ) |
||||||
где отраженная |
волна |
|
б(£~х) |
связана |
с решением |
u(x,i) |
||||||||
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
c(y,T)u(y,t)dT. |
|
|
( 2 . 6 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
5 . у |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
теоремы |
получаем из |
леммы |
1.3* |
примененной |
|||||||||
к функции |
w(x,t) |
= |
v(x,t)+ |
a(t-x) |
= и |
(x,t)-a(t |
+ cc-) + |
a(i'x), |
||||||
Действительно, |
функция |
г&(,х,{) |
удовлетворяет |
уравнению |
||||||||||
|
дггії |
дггс> |
|
, |
, |
|
|
г |
|
|
-, |
( 2 . 7 ) |
||
|
— |
|
1 +с(х,Ъи>=-с(х,£)\a(t+x)-a(t-x)\ |
|
|
|
||||||||
|
dt* |
дх.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
' |
|
|
краевому условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ur(.0,t) |
= 0 |
|
|
|
|
( 2 . 8 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
и, кроме того, условиям излучения. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Учитывая |
связи |
между |
функцией |
и)- и и |
и интегральное |
||||||||
уравнение |
для задачи |
( 2 . 7 ) - ( 2 . 8 ) , получаем |
интегральное |
урав |
||||||||||
нение |
для функции |
и(х,£) |
в |
пространстве |
непрерывных |
функ |
||||||||
ций с |
равномерной |
нормой |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и(х,£) |
- |
a |
(t |
+ x)-a |
|
(t-x)- |
|
|
|
|
|
|
i-x |
x+i-t |
|
|
і |
x+t-T |
|
|
|
|
|||
|
|
c(y<c)u(yr)dy- |
dt |
|
c(yr)u(y,4r)dy |
|
|
|||||
i-x-r |
|
|
|
|
t-x |
x-i+r |
|
|
|
( 2 . 9 ) |
||
Если ввести в рассмотрение отраженную волну |
е(і~х) |
с о г |
||||||||||
ласно ( 2 . 6 ) , |
то уравнение |
( 2 . 9 ) |
примет вид |
|
|
|
|
|||||
a(x,t) |
= a( |
t+x)- |
6 |
(t-x)+t |
:(yz)d' |
|
|
|
( 2 . 1 0 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
Из ( 2 . 1 0 ) |
и оценки |
для потенциала |
с(х,£) |
|
легко |
получаем |
||||||
( 2 . 5 ) . Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим теперь асимптотику решения нестационарной |
||||||||||||
задачи ( 2 . 1 ) - ( 2 . 2 ) - ( 2 . 3 ) - ( 2 . 4 ) |
при |
t -*• і |
°о |
|
|
.Непосред |
||||||
ственно |
из |
( 2 . 9 ) получаем, что- |
равномерно |
по |
х |
|
|
|||||
и-(х,£) |
- |
a(t |
+ x)-a(i-x) |
+ O(-f) |
П ри |
j |
f |
- ( |
2 . 1 1 ) |
|||
С |
другой стороны, исключая |
txCi+xy |
|
в |
уравнении |
|||||||
( 2 . 1 0 ) , |
используя ( 2 . 6 ) , |
имеем |
|
|
|
|
|
|
||||
t+% |
X-t+T |
оо |
T-t+X |
|
dl |
c(y,T)u(y,z)dy-^ |
dr |
c(y,T)u(y,T)dT. |
|
|
|
t** |
T-t-fi |
( 2 . 1 2 ) |
Из ( 2 . 1 2 ) |
получаем, что равномерно по |
хе[о,<*>) |
||
