Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.07.2024
Просмотров: 175
Скачиваний: 0
u(x,i)= |
B(t + x-)-6(t-x.)+Q(0 |
|
при |
і! |
* |
+ ™ . |
|
( 2 . 1 3 ) ' |
||||||||
|
|
|
|
|
2. |
Оператор рассеяния |
|
|
|
|
|
|
||||
Согласно |
теореме |
111.1 |
каждой |
функции |
a.(s> |
|
, задающей |
|||||||||
падающую |
волну |
a(t+x.), |
соответствует |
функция |
ёС^У |
, |
опре |
|||||||||
деляющая |
отраженную волну |
в(і-х) |
. |
Таким |
образом, |
опре |
||||||||||
делен |
оператор |
S |
, |
переводящий |
a(S) |
в |
8(s) |
. |
Назовем |
|||||||
этот |
оператор |
$ |
оператором |
рассеяния: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
<&a(s) |
= |
й(з) |
, |
- м ^ « с » , |
|
|
|
|
( 2 . 1 4 ) |
||||
Оператор |
& |
будем |
рассматривать |
в пространстве |
|
Lg (- °°, |
+ °°j . |
|||||||||
|
Отметим, что в случае, когда |
потенциал |
с (х, |
£)~ О . Р а с |
||||||||||||
сеянная волна |
В(£-х)-= |
а(-б-х) |
|
л в |
этом |
случае |
оператор |
|||||||||
рассзяния |
£ |
равен единичному |
оператору. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
§ 3 . Обратная задача для уравнения струны на полуоси
Задача нестационарного рассеяния для возмущенного уравне ния струны на полуоси рассмотрена в предыдущем параграфе. В частности, показано ( 2 . 1 0 ) , что решение и (-л,і) такой задачи удовлетворяет уравнению
|
c(y,r)a(y7t)dydf |
7 |
( 3 . 1 ) |
|
k(x,t) |
|
|
г д е |
|
|
|
K(^c,-t)-^Cy,t): |
y-x^\i-t\^. |
|
( 3 . 2 ) |
Для изучения уравнения ( 3 . 1 ) удобно ввести операторы,обоб щающие на нестационарный случай обычные операторы преобразо вания стационарной задачи рассеяния для уравнения Штурма-Лиу- вилля на полуоси.
1 . Операторы преобразования
Рассмотрим специальные интегральные уравнения
J(X,t) -ос U -1-х.) + ( 3 . 3 )
k(x,t)
|
/ Г |
( 3 |
. 4 ) |
|
|
||
Здесь J?(x,t) |
и Ji(x,t) |
- неизвестные функции,!*:^ |
кp(s)- |
проиэвольные |
заданные непрерывные равномерно ограниченные |
||
функции,определенные на всей оси, а потенциал c(x,t) удов летворяет требованиям, обеспечивающим существование и един
ственность |
задачи |
нестационарного |
рассеяния, |
т . е . |
|
|
|
|
с |
|
|
C(X,t) |
і |
J |
; |
, где |
S>0 |
Эту оценку будем предполагать всюду в дальнейшем.
Ле м м а 3 . 1 . Существует и единственно в пространстве решение J(x,t) уравнения ( 3 . 3 ) при любой правой
части |
oi(j)€:C(b) |
|
. Решение |
уравнения ( 3 . 3 ) представимо, |
||
в виде |
|
|
«> |
|
|
|
•A(.X,t:)=ctU+X~) |
+ |
Н_ (ос, 1,4 Уос (с% -x)dt, |
= |
|||
= |
(Г |
+ /1(х))Г^сс(П9 |
|
|
|
( 3 . 5 ) |
где |
при фиксированном X Н_ (х) |
— интегральный |
оператор, ядро |
|||
которого Н_(Х, t,c%) |
является |
ядром Гильберта—Шмидта. |
||||
При |
|
Х-*-оо |
|
|
|
|
\\У-<х)\\ ~*-0 , х-> + <*> . |
( 3 . 6 ) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
. |
Существование и единственность |
|||||||||||
решения |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ucx,t) |
= f(x,i)^^ |
c(y,v)U(t/,T)dr |
|
|
|
( 3 . 7 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
любой правой |
части |
f(x,t)eС'(Ее) |
|
следует |
из леммы |
||||||||
1 . 2 |
г л . 1 . Действительно, |
уравнение |
( 3 . 7 ) можно |
записать |
в |
|||||||||
операторном |
виде |
так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
U(x) = F(x) |
+ jfU(£) |
f |
|
|
|
( 3 . 8 ) |
|||
где |
при фиксированном Л; |
IL(x) |
и ^ - ^ - в е к т О р - ф у н к ц и я |
со |
|
|||||||||
значениями |
из |
пространства |
ССЕ); tf(x) |
- и (x,t) |
, |
F(x) |
=f(ac,t)l |
|||||||
а оператор Л |
определен |
равенством |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 9 ) |
|
|
|
|
|
|
k(x,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
( 3 . 9 ) легкЪ получить оценку |
|
|
|
|
|
|
||||||
\\ЛЩ\ |
=sup |
\\Аи (х)\\ |
*\и>&)\\и\\^ |
Ыё, , |
|
( 3 . 1 0 ) |
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценка |
( 3 . 1 0 ) позволяет применить |
лемму |
1 . 2 г л . 1 . |
|
|||||||||
|
Будем искать решение уравнения ( 3 . 3 ) в виде |
( 3 . 5 ) . |
Под |
|||||||||||
ставляя |
J(jc,i) |
|
из ( 3 . 5 ) в |
( 3 . 3 ) , |
получаем |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
k(X,t) |
|
|
|
|
|
|
|
||
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dydr. |
|
|
|
|
|
k(x,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 1 1 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Преобразуем интегралы,стоящие в правой части
c(y,T)<*(T+y)dyd?~
k(x,t) |
O-tt- |
ГГ
=[ d£, |
с(.и,Ь + х-ц)ы.(Ъ + я)с1и |
J. |
J к.* |
|
г. |
ft |
|
( 3 . 1 1 )
( Э . 1 2 )
dydr>
к(я,і)
d&, c(y,T)H„(y,r,£,) |
= |
t+x-y |
|
de, |
c |
|
d. (y, tA* |
^-y) dy dr |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 1 3 ) |
|
Используя ( 3 . 1 2 ) |
и ( 3 . 1 3 ) , из |
( 3 . 1 1 ) , |
в силу |
произволь |
||||||
ности функции |
ос |
, получаем, |
что при |
&,>і |
|
|
|
|||
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c(yA+x-y)dy+- |
с(у, т) |
(у, г, 4 +х-у) |
dudt, |
|||||
|
л ь |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство |
( 3 . 1 4 ) |
будем рассматривать |
как |
интегральное |
у р а в |
|||||
нение для |
функции |
H_(tC,ti&>y |
< |
|
|
|
|
|
||
Для |
исследования |
разрешимости |
уравнения ( 3 . 1 4 ) Я |
полу |
||||||
чения оценок |
для |
его решения |
удобно |
р а с с м о т р е т ь функцию |
||||||
