Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.07.2024
Просмотров: 178
Скачиваний: 0
H({x,t,ti)=H_(jc,tfi,-a:). |
( 3 . 1 5 ) |
С учетом ( 3 . 1 5 ) уравнение ( 3 . 1 4 ) принимает пил
k(x,t)\k[x+ |
|
|
|
|
|
|
( 3 . 1 6 ) |
|
2 |
z |
j |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
В уравнении ( 3 . 1 6 ) |
зафиксируем |
. Тогда |
это |
интегральное |
||||
уравнение |
для |
Н1 |
t, £, ) |
по первым |
двум |
переменным. |
||
Покажем, |
что для уравнения |
( 3 . 1 6 ) |
сходится |
метод по |
||||
следовательных |
приближений. |
|
|
|
|
|
||
Для |
сокращения |
введем |
обозначение |
|
|
|||
Уравнение |
( 3 . 1 6 ) примет виц |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 1 7 ) |
где
( 3 . 1 8 )
\+x-t
2.
Оценим свободный член ( 3 . 1 8 ) с учетом оценки потенциала
\с(у,ї;-у)\а[у4с |
«і/ |
• ( 3 . 1 9 ) |
|
|
(/+\у\)"г(/+\%-у\) |
г
Усилим неравенство ( 3 . 1 9 ) , неравенства ( 3 . 1 9 ) на
du
и+\и\)<+Ч1АЬ,-и\)1+ь
1
При этом получаем оценку
С ДРУГ0 * стороны
со
2 |
+оо |
1+ |
\) - оо |
2 |
Поэтому имеет место оценка
заменяя интеграл в правой части
С,
( 3 . 2 0 )
«Аф
( 3 . 2 1 )
dy
г
4,
( 3 . 2 2 )
\f(a;,t£)\± |
( 3 . 2 3 ) |
Кроме того, если (y,f)e Q (гс, t,£,) |
, то |
СО |
|
с |
|
\c(s,t,-*)\dxit |
( 3 . 2 4 ) |
Для доказательства сходимости метода последовательных при ближений для уравнения ( 3 . 1 7 ) надо показать, что сходится ряд
Q(x,t,b,)
и з
гг
( 3 . 2 5 )
Рассмотрим мажорантный ряд
\f(*JA)\ + ) j \c(y,t)\\f(y,T.e,)\dydr |
+ ...+ |
( 3 . 2 6 ) Учитывая ( 3 . 1 9 ) и ( 3 . 2 4 ) f получаем мажоранту для ряда ( 3 . 2 6 )
^\ayA-y)\dy '+J £ \с(у,г )\dydr
( 3 . 2 7 )
Воспользуемся оценкой |
£ |
|
наложенной на потенциал, а |
интегрирование по Т, |
., тп ,... |
будем проводить на всеіі оси. Тогда получаем мажоранту для ряда ( 3 . 2 7 ) , которая легко суммируется:
|
|
|
|
|
|
f*£ |
d, |
|
|
|
_ f |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 2 8 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что |
сходится |
мажорантный ряд |
( 3 . 2 8 ) , |
делаем |
||||||
вывод о |
сходимости |
ряда ( 3 . 2 5 ) , |
т . е . сходится |
метод |
последо |
|||||
вательных приближений для уравнения ( 3 , 1 ? ) . |
Таким |
о б р а з о м , |
||||||||
доказано существование решения |
уравнения ( 3 . 1 6 ) . |
Единствен |
||||||||
ность решения легко |
получаем из того факта, что |
уравнение |
||||||||
( 3 . 1 6 ) |
вольтеррово |
по переменной |
х . |
|
|
|
|
|||
Действительно,уравнение ( 3 . 1 6 ) имеет вид |
|
|
|
|||||||
|
H(x)=F(x) |
+ Jh'(x), |
|
|
|
|
( 3 . 2 9 ) |
|||
г д е А^лО.вектор-функция со |
значениями |
в С(Е) |
, |
а |
для опера |
|||||
тора Jf |
справедлива |
оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oC(T)\\H\\zdT. |
|
|
|
|
|
( 3 . 3 0 ) |
||
Поэтому |
можно воспользоваться |
леммой |
1 . 2 г л . 1 . |
|
|
|
||||
Оценки ( 3 . 2 1 ) , |
( 3 . 2 3 ) |
и |
( 3 . 2 8 ) |
позволяют |
оценить |
|||||
Hf(x,trb)
Откуда |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
її. |
|
|
|
|
|
|
|
, ( 3 . 3 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
J J |
|
|
|
|
|
|
( 3 . 3 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким |
образом, |
H_lx,t,£,) |
по переменным |
t |
и |
£, |
является |
||||
ядром |
Гильберта—Шмидта. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
С |
другой стороны,опенка |
( 3 . 2 8 ) |
дает |
|
|
|
|
|||
|
|
|
\Н,{х,ЬА>\ |
* e j |
\c(y,£,-y)\dy |
|
|
|
( 3 . 3 4 ) |
||
|
|
|
|
|
%+x-t |
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
( 3 . 3 5 ) |
|
\H_(x,t£)\ |
= \Ht(x,t£+*)\4c |
\ \c(y,t,-y)\dy |
|
|
. |
|||||
При |
Sytt |
из |
( 3 . 3 5 ) |
получаем, учитывая оценки |
потенциала |
||||||
С(х, |
t) |
, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\H_(x,tA)\$ |
({+\х\)г |
. |
|
|
|
( 3 . 3 6 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возводя |
неравенство |
( 3 . 3 2 ) в степень |
f-^ |
,а |
неравенство |
||||||
( 2 . 3 6 ) - в |
cteneHb 2&- |
и перемножая |
их,получаем |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|fc >4P*6X'-™(f+\t,+ |
|
|
|
С З - 3 7 ) |
||
|
|
|
(/*\х\)*-*^(1+ |
|
|
*x-tlf''*»'-*> |
|||||
Огстода, |
ярп достаточно малом |
S'<—— |
|
, |
легко получа— |
||||||
еМ; |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.1.16
|
|
\H_(x,tA)\ |
did*,* |
|
|
||
|
|
|
|
dtdt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
( 3 . 3 8 ) |
|
|
|
|
|
|
x->-« |
|
Тем самым |
доказано |
утверждение леммы 3 . 1 . |
|
||||
Л е м м а 3 . 2 . |
Существует |
и единственно в |
пространстве |
||||
С(Е*) |
решение |
|
уравнения |
( 3 . 4 ) : |
|
||
Ji(x,t) |
|
= f,(t-x)±L |
|
|
c(y,'CjJ$(y)Tjdydr |
|
|
при любой |
правой части |
fi(J)e |
С(Е~> . |
|
|
||
Решение этого уравнения представимо в виде |
|||||||
fl>{x,t)r=fi(i-x)+ |
H^(x,£,^)/bCt,-x)d^ |
~ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 3 9 ) |
где при фиксированном х |
оператор Ht |
(х)~ оператор Гильберта- |
|||||
Шмидта, |
а при Х-+ |
+ 00 |
|
|
|
|
|
|
|
\\Н^х)\ |
-*<?, |
д; -у. у- оо , |
( 3 , 4 0 ) |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
этой |
леммы |
полностью |
аналогично |
|||
доказательству леммы 3 . 1 . Приведем лишь интегральное урав« нение, которому удовлетворяет ядро Н+ (х,і,Ь.) при t
сЦ,Х)Н+(і/я£+У'МУ<іуь |
( 3 . 4 1 ) |
Если ввести |
в рассмотрение |
ядро |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 4 2 ) |
то оно удовлетворяет уравнению |
при |
c%£t--x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
c(y,T)H2(y,T,£,)dydT |
|
|
( 3 . 4 3 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
2 . |
С в я з ь операторов |
преобразования с |
потенциалом |
|||||||
Из |
уравнений |
( 3 . 1 4 ) |
и |
( 3 . 4 1 ) , |
полагая |
£ |
-t |
, полу |
||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 j |
c(y,t |
+ |
x-y)dy. |
|
( 3 . 4 4 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hf(x,t.t)=£ |
|
c(yj-x*y)dy |
. |
|
( 3 . 4 5 ) |
|||
|
|
|
|
|
и |
|
о |
|
|
|
Применяя к |
( 3 . 4 4 ) оператор |
^ |
- — • |
, а |
к |
( 3 . 4 5 ) - о п е - |
||||
ратор |
— + Л— , |
имеем |
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
die |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І — - Н / / > Л О = ; С ^ , |
|
|
( 3 . 4 6 ) |
|||||
( 3 . 4 7 )
Формулы ( 3 . 4 6 ) - ( 3 . 4 7 ) выражают потенциал с(х,і) через ядра операторов преобразования.
