Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

Решение

задачи

нестационарного

рассеяния удовлетворя­

ет

уравнению

( 3 , 1 )

U(x,i)

=

a(X,£)-e(t-x)+1-

C(y,t)u(y,t)ciydf

.

( 3 . 4 8 )

Воспользуемся

леммами

3 . 1 и 3 . 2 .

Так как

свободный

член в

( 3 . 4 8 )

есть

разность

a(t+x)

и

B(t-x)

, т о

реше­

ние есть разность решения уравнений

с этими правыми

ч а с т я ­

ми. Таким образом,

оо

LL(X,t)= a (t+*)Arl-(x,t,£})a(£,-t-x)dt>--e

-

t

-

•>

.

H+(x,t.£,)6(*,-x)ct£,

L

( 3 . 4 9 )

Будем рассматривать

функции от

двух переменных

* и

ранстве

А,

і по

переменной

і

.

Обозначим через

tl(x) опера­

тор, переводящий

заданную плоскую

волну асі)

в

решение и(х,4)

задачи

нестационарного рассеяния

U(x)ct{&)

= u(x,f) .

( 3 . 5 0 )

Равенство

( 3 . 4 9 )

можно переписать в операторном

виде

V.(x)a~(I+ H_(x))Txct-(I+

H+(x>)TxS

,

( 3 . 5 1 )

Учитывая определение

оператора рассеяния

S=£a

,

( 3 . 5 2 )

равенство

( 3 . 5 1 )

примет вид

U(x)=(I+

Н_(х))Т^-

(1+ Н+(х))Тл£

.

( 3 . 5 3 )

Из

граничного условия

u(0^t)-0

получаем,

что

11(0)—

О

и поэтому

из

( 3 . 5 3 )

получаем

важное

равенст ­

во

5 = (I+Ht(Q))~'(I+H_W))

.

( 3 . 5 4 )

Непосредственно

из представления

( 3 . 5 4 )

следует

Л е м м а

3 . 3 . Оператор

рассеяния

_>

нестационарной

задачи допускает правую факторизацию. Существует обратный

оператор

S~f

в

пространстве

Ьр

(~оъ+оо)

. Имеет

м е с т о

представление

6 = 1+Г- ?

_ Г ' _ 1 * У ,

( 3 . 5 5 )

где

h

н

і /

— операторы

Гильберта-Шмидта.

Исходя

из

равенства

( 3 . 5 4 )

введем

в

рассмотрение

о п е ­

раторную

функцию

&lx,)=

(I*

в+(х0))~{(1+

Н_ (х))

.

( 3 . 5 6 )

Л е м м а

3 . 4 , Оператор

&(х0)

является

оператором

р а с ­

сеяния нестационарной задачи на полуоси

с

граничным

условном

U(xo,t)-=

О

Д о к а з а т е л ь с т в о

.

Задача

рассеяния

на

по чуоси

л » х 0

с т т ч щ и а л о м

c(x,t)

эквивалентна

задаче

рассеяния на

полу­

оси

я-ъО

с

потенциалом df(x,t)-

С<.x+x0^t)

Однако

непосредственно я з уравнений

для операторов

преобразо­

вания следует, что операторы преобразования Н'^сх)

для п о ­

тенциала

d1(x,t)

выражаются

через

операторы п р е о б р а з о в а в ,

ния

Н+(х)

следующим

образом: Н±

(х)

= Н±

(а: + -х0У

Таким

образом,

оператор

рассеяния

& f

на полуоси

х ъ х 0

согласно

( 3 . 5 4 )

равен

(J*

Hl,y

(C))-Ul+

H<f)(0))

или

gf

= 6 ( л в

)

. '

4 .

Свойство

оператора

рассеяния

Используя

принцип

причинности,

рассмотрим

ряд свойств

решения нестационарной

задачи

рассеяния.

Л е м м а

3 . 5 .

Если падающая

волна

alt+<&)

равна

нулю

в

области

i+<x,<J-

,

то

и решение

и<ж,£) нестацио­

нарной

задачи

рассеяния

равна нулю в этой области.

Если

о т ­

раженная

волна

Sd-x)

равна нулю в области t-joJ-

,то

и решение

а(х,£)

равно нулю в этой области. Если одно­

временно

a(tr+x)

= 0

при

t+x*J-

и

6(t~x)=0

при

t-x>J.

, т о

u(x,t)s.0.

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Первое утверждение следует из ин­

тегрального уравнения ( 2 . 9 ) , которому

удовлетворяет решение

u(-x,t)

.

Действительно

,

если

a.{t+x)-0

П ри і+х<3-

,

то и

a.(t-x)

— 0

П рц

t + X'-J-

,

т . е . свободный член

в уравнении ( 2 . 9 ) равен

нулю в

области

t + x

+ J-

. В

силу

вольтерровости уравнения по переменной t

легко

заключаем,

что и

и(х^)-0

при

t+sc*-J-

Совершенно аналогично

из

уравнения

( 2 . 1 2 )

делаем

в ы ­

вод,

что

u(x,t)--0

П ри

, если

B(t-x)~0

при

t-x>d

Если выполнены оба условия, то решение u(x,t)

равно

нулю

как - в области

t+x-'J.

%

так

и в

области

t-x>JL

Из этого

факта

следует,

что

\*с-о~^

' ^ ч и т ы в а я

также

граничное

условие

u(0,t)

= О

,

получаем,

что

реше­

ние

u(x,t)

удовлетворяет

нулевым

начальным

условиям

по переменной

х

при х-О

.

Но

и(х,£)

е с т ь решение

в о л ­

по переменной

х

делаем

вывод, что

и (X, t)~0

. Лемма

доказана.

Сформулируем

теперь

результаты

леммы

3 . 5

в оператор­

ной форме.

Л е м м а

3

. 6 .

Для любого U. и

х*О

справедливы р а ­

венства

Q^UtxyP^O

,

Г 3 . 5 7 )

PUxtl(x)&-'Цл=0.

( 3 . 5 8 )

Если

Рл5Рха=0

,

то

Рла=0.

( 3 . 5 9 )

Действительно,

условие

a(t+x)

= 0

при

ї+х<Л

можно

записать

в

виде

a=P^f

;

условие

S(i-x)—

О

при

і-х>Л

— в

виде

б-@х9

> И

Л 1

[

а -£~*Ял

9

; условие

u<x,t)

= 0

при

t+x^J.

в

виде Q x - x ^ <

x

) a =

z 0

'

условие

и(х,і)

= 0

при

і-х>Л

в

виде

^

Ц(х.)<Х=*0,

где

f

к

д

произвольны.

Но тогда

получаем

( 3 . 5 7 )

и

( 3 . 5 8 ) ,

Е третьем утверждении леммы 3 . 5

показано,

что если

я и м е ­

ет вид

P^f

,

и

&

имеет

вид

@х 9

,

то as

6 s

О

Условие

а = Р^-Р

и

3=$х$

приводит

к

уравнению

Pj^Px^~^

• Д е и с

т в н

т

е

л ь

н о ;

раз

&~Qx9

,тоРд&

— 0 ,

Но

В=^Л

,

что в м е с т е

с

услорнем

а = Р^г

дает

Pji^Px^

• Наоборот,

если

£

удовлетворяет

уравне­

нию

Px&Pzf~О

1

т

о

п

р и

а

=

Рл^

функция

S

имеет вид

QJLQ

. Таким

о б р а з о м , т р е т ь е

утверждение

леммы

3 . 5

эквива*»

лентно

тому,

что из

Рх^Рх^~

следует

Рх^^^'

Т е о р е м а

III . 2 .

Оператор

рассеяния

нестационарной

з а ­

дачи дпя уравнени» струны на nojr/оси допускает

двустороннюю

факторизацию.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Правая

факторизация

доказана

в

лемме 3 . 3 . Равенство

( 3 . 5 9 )

эквивалентно

тому,

что

однород­

ное

уравнение

y(x)+-J

F(x,s)y(s)ds

-

О

( 3 . 6 0 ) .

имеет лишь тривиальное решение. Но тогда

H+FPX)

1

с у щ е ­

ствует . Согласно теореме 1 . 1

г л . 1 оператор

S-I+F

допускает

певую факторизацию.

5 .

Восстановление

потенциала

по оператору

рассеяния

t

Запишем

равенства

( 3 . 5 7 )

и

( 3 . 5 8 )

в

виде

QxU(x)p^x=o,

( 3 . 6 1 )

P3U(x)S-'Q2

х

= 0

,

( 3 . 6 2 )