Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

где согласно

( 3 . 5 3 )

U(х)

= (I + Hjx))Tx

- (I*Н+

(х)) Тх 6 .

( 3 . 6 3 )

Обозначим

\j+H+lx%~1=I+R.

їх),

( 3 . 6 4 )

Применим

к

( 3 . 6 1 )

слева

оператор

1+ С1л%+

(х)

, а спра ­

ва — Т_х

,

, Тогда

получим

\l + QJt+l*№xU&>PjL+*T*.=

a -

( 3 . 6 5 )

Учитывая

равенства

( 1 . 1 0 )

и

( 1 . 1 3 )

г л . 1 преобразуем

( 3 . 6 5 )

к

виду

'

QJL(I^R^))U(x)TxPJL=0.

( 3 . 6 6 )

Отаода,

привлекая ( 3 . 6 3 ) ,

( 3 . 6 4 )

и

( 3 . 5 6 )

получаем

^ С х > - Г х б Т ж ] Р л ^ 0 .

( 3 . 6 7 )

Умножая

равенство ( 3 . 6 2 )

на

Тх

справа и на (.1+

PjR_(xS)

с л е в а ? получаем

[ Т * Р Х R _ ( л ) ] Р Л U(x)J-'42_ХТ^0

.

( 3 . 6 8 )

Воспользуемся свойствами

( 1 . 1 0 )

и

( 1 . 1 3 )

г л . 1 и

преобразу­

ем ( 3 . 6 8 )

к

виду

РЛ(1*Н.(ве)Г'

U(<c)64TAQx

= 0 .

( 3 . 6 9 )

Используя

выражение

( 3 . 6 3 ) для оператора

U(x)

и опреде­

ление ( 3 . 5 6 )

оператора

&(х)

,

получаем

PX[^(^)-TX6-<TX\Q1=0.

( 3 . 7 0 )

В в е д ем операторы

F(X)

и У(х)

равенствами

$(х) -1+

F(x),

S~'(x)

= 1+

if<x)

•

( 3 . 7 1 )

При этом учитывая, что ^(0)=^

,

имеем

F(0) = F

и

Равенства

( 3 . 6 7 )

и

( 3 . 7 0 ) ,

если их записать для ядер

соответствующих

операторов, примут вид

F(x,t,4>~

Ftt-хЛ+х)

при

ЫЕ,,

( 3 . 7 2 )

if(x,t£)=

if(t

+ x,

Ь,~х)

при

zS*£,

. ( 3 . 7 3 )

В равенствах

( 3 . 7 2 )

F(X,t,К)

— ядро

оператора

F(x)

,

•if(x,t,t,)

-

ядро

оператора

?f(x),

F(t,£,)

и УС/Д)

ядра операторов

F

и

if

Таким образом, если известен оператор рассеяния 6

,то

известны

операторы

F=S~1

и

У = <5> ~ / "

,

а

из

( 3 . 7 2 )

и ( 3 . 7 3 )

определяются

операторы

Fix)

и

У+(х)

.

Учитывая,

что L>(Xg)

является

оператором

рассеяния

на полуоси

х^Хд

,

ный способ

восстановления

$(х)

по F. СХ) и

(X)

, д

значит и по .S1

. Используя далее ( 3 . 4 6 ) - ( 3 . 4 7 ) ,

получаем

способ однозначного восстановления потенциала с(Х,і)

по <5э

Сформулируем

этот

результат.

Т е о р е м а

III . 3 . Нестационарный

потенциал

c(X,t)

о д ­

нозначно восстанавливается

по оператору

рассеяния

£

. При

фиксированных

х

и t

система интегральных уравнений

— с о

имеет единственное

решение

Н_(Xj

і,Л)

f H+(x,t,

Л) .

Потенциал c(X,t)

определяется по H_(x,t,Л)

и

Н^(х,і,Л)

посредством

равенств

'u.,(x,t)

= S/x+t)

*•

ОН)

г

( 1 . 3 )

ug(x,t)

= as(t-x)

+

0(1)

,

Кроме

того,

справедлива также

равномернал по X

асимптоти­

ка при

t

± <*>

:

u,(sc,t)-at(x

+ i)

+ От

,

| и , f c r . i)=ag(i-x)t-

0(0

,

•

^

'ul(x,t)

=

g,lx+t)+

0 ( 0 ,

ueLr,iS

= 8t(i-x)+

0(0,

Вектор-функиня

a. cs)

= (CLj (S),

а г

(s))

определяет

падаю­

щую

волну

( а1

(х

+ t),

a.g (t -x»

,

а

вектор-функция S(s)-

~(6r

(S),

&c (s))

-рассеянную

волну

(Si(Xt),

8t (t

-X))

Оператор

рассеяния >f>

переводит

a(s)

в

б(s) :

( 1 . 5 )

( 1 . 6 )

В этом

параграфе изучим некоторые

свойства оператора р а с ­

сеяния

как операторной функции от

потенциала.