Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.07.2024
Просмотров: 186
Скачиваний: 0
где |
7^. —оператор сдвига: |
7^ f(j) = |
f?(j+so) |
. |
Учитывая, |
что |
E—&CL , из ( 1 . 1 2 ) |
получаем |
с в я з ь между |
d~ |
и & : |
|
|
|
|
|
о |
где |
|
|
|
|
|
|
(Т* |
0 |
|
|
|
Если привлечь потенциал как функциональный аргумент опера
тора рассеяния, то из ( 1 . 1 0 ) и ( 1 . 1 3 ) |
получаем |
|
|
6(С(х+яв,ї)) |
= £ |
. |
( 1 . 1 4 ) |
б) Сдвиг по временной переменной.
Совершенно аналогично предыдущему получаем закон и з менения оператора рассеяния при сдвиге потенциала по времен ной переменной
|
|
6{Cl*,t |
+ te))=T |
6(C(x,t))Tt |
. |
||
|
|
|
|
|
О |
~<<7 |
|
в ) Лоренцов поворот. |
|
|
|
|
|
||
Сделав |
преобразование независимых переменных |
||||||
|
|
х-' = .х |
ch |
(р |
£ j/[ |
р t |
|
|
|
t '•= x |
sk |
(p + і ch |
|
|
|
и полагая |
|
|
|
|
|
|
|
- |
- |
fr- |
|
|
|
-x'skW+i'chij)), |
|
a(x't') |
= e |
u.(x'chw-t'ship |
у, |
Y |
|||
|
|
|
|
|
г • |
||
( 1 . 1 5 )
(1 . 1 . 8)
if
,( 1 . 1 7 )
легко преобразовать систему ( 1 . 1 ) к виду
да _ дй
С |
(х, t) - |
Л 9 |
С (х, t) |
- C'tx |
cktp-tship^x |
chip-t- tsk |
y>){ і . l p ) |
||
При |
этом |
оператор |
рассеяния £ф |
для |
системы ( 1 . 1 8 ) |
связан |
|||
с оператором |
рассеяния & |
для |
исходной системы |
(.1.1 |
) р а |
||||
венством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
ирас*} |
= \ |
у |
|
)• |
|
( 1 . 2 J ) |
||
Таким образом, преобразование ( 1 . 1 9 ) потенциала прігеодит к равенству
d(AfC(x,t))= |
U_ip6LC(x,t))Uy>. |
|
( 1 . 2 2 ) |
|||
г ) Отражение |
по |
пространственной и временной |
координате |
|||
Сделав в |
системе |
( 1 . 1 ) |
преобразование |
|
|
|
х ' = £ у |
х , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 2 3 ) |
t'=&zt |
|
|
, где . г , = ± / , |
£ е |
= ± / , |
|
приходим к следукТщим |
равенствам |
|
|
|||
|
|
6(C+(-x,t))=e6l?(x,t))et |
|
( 1 . 2 4 ) |
||
|
|
і* С- С(л,-£» |
= 5 JS'f(C(set |
№Є, |
( 1 . 2 5 ) |
|
где |
|
|
ч ? |
/ |
|
|
|
|
|
5 = 1 , |
^ / » |
|
( 1 . 2 6 ) |
J |
- оператор отражения: |
|
м а т |
|
рица, |
транспонированная |
к С |
: |
|
|
I |
0 |
Ce(x,t) |
( 1 . 2 7 ) |
|
|
|
|
|
|
\c,(x,t) |
О |
|
|
д) Взаимная замена временной и пространственных перемен ных.
Сделав замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 2 8 ) |
в системе ( 1 . 1 ) , легко |
получаем |
уравнения |
для |
H(x',t') |
||
дй |
^ дй. |
|
|
|
( 1 . 2 9 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ді' |
дх' |
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
6(Cix,t))=£=, |
4/ |
^ |
|
|
||
|
|
|
( 1 . 3 0 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
, |
з и |
|
|
Сопоставление |
решения |
задачи |
рассеяния для |
систем |
( 1 . 1 ) и |
|
( 1 . 2 9 ) дает |
|
|
|
|
|
|
и |
It |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 3 1 ) |
г д е ' .7 - оператор отражения: {Of)(t)= |
f(-t) |
Из ( 1 . 3 1 ) |
легко |
получить существование £ |
' |
и представ |
|||||||||||||
ления |
|
|
(і |
|
о\1^ оу/т |
4 ут |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
о |
J Л 4 . |
|
її |
\о d. |
|
|
|
> |
( 1 . 3 2 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
sY2 |
\ I г |
О |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
\о |
Sj\o |
с, |
|
( 1 . 3 3 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 . |
Принцип |
причинности |
|
|
|
|
|
||||||
|
Решение |
задачи рассеяния |
для системы |
( 1 . 1 ) |
удовлетво— |
||||||||||||
ряет |
интегральныїм уравнениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(х *£) |
,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и, |
(х, t) = а. |
Гс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
О |
+ I с<(x*t - f , г) и. (х * t - Т, т) dr, |
|
|
|||||||||||||
і |
|
|
|
|
|
^«> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 3 4 ) |
|
uz |
(х, |
Ь - az(i-x)+Jcz(x-t |
+ T,'t)uf(x-t-n;,'<;)dz |
t |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
-oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r , (X +1- V, t) |
u2 (x +1- r , T) |
dr, |
( 1 . 3 5 ) |
|||||||
u£ |
(x,t |
j = S£ ({-x) |
-j ce (x -1 |
у- r , t) |
u, |
(x |
-1 •> ї, |
T)dr. |
|
||||||||
Здесь |
a(s) |
= {a.i (s), az |
(^)) |
— вектор, |
характеризующий |
пада |
|||||||||||
ющую |
волну, a |
S(^)-(Bf(3)t§e(e)) |
|
|
|
-рассеянную. |
|
||||||||||
|
Из |
системы |
( 1 . 3 4 ) |
видно, |
что если задан |
вектор |
a.<si , |
||||||||||
то решение |
в момент |
t — tB |
зависит |
лишь |
от значений п о |
||||||||||||
тенциала |
при |
t^£0 |
|
- С |
другой |
стороны, |
если решение |
||||||||||
и-(х,£о) |
|
в |
момент |
t— £а |
известно, то при tbtB |
р е |
|||||||||||
шение |
и.(х,іу |
будет |
з а в и с е т ь |
лишь |
от потенциала |
при t^t0 . |
|||||||||||
Действительно, |
|
и |
(ос, t) |
|
удовлетворяет системе |
уравнений |
|||||||||||
Г a f |
( x , t ) |
= uf№ |
|
t-tcite)-h |
|
\ cf(x+ |
t-т,T)u2(x+ |
|
|
t-?,l)dr, |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
( 1 . 3 6 ) |
|
ue(x,t> |
|
= u.(,(x-i-+to,tt)+ |
|
\ yx-t+r,€)uf(x-t+?,<?) |
|
d€ y |
|||||||||||