Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

которая легко получается из (1. . 3 - і ) .

Разложим потенциал

Сіх^)

на две части: одну,

равную

нулю

при

{>

t д

, а другую -

при

t < t 0

e(K,t)

= &lt„-t)C(x,t)+

Qit-ta)Clx,t).

( 1 . 3 7 )

Пусть

£>.,

и

i>„ — операторы

рассеяния,

соответствующие

с л а г а е м ы м

потенциала, т . е .

,5. --• 6(&(ta-

t)C(x,t»

,

S(e(t-to)Ccx,t))

.

( 1 . 3 8 )

Пусть

алз)

..произвольный

вектор.

Обозначим

iS^ а(з)

через

уйч'^> . Тогда

при

t~ta

решение

задачи

рассеяния

с

полным

потенциалом і! падающей

ночной

&

совпадет с

решением з а д а ­

чи рассеяния

при потенциале

9(l-ta)L

(х,

і)

и падающей

волной

и

. По тогда решения обеих задач

совпадут при i^-t0

,так

как

при этом

совпадают

потенциалы. Это приводит к

равенству

$а-

— >5£р

. По

R = &fa

, а

поэтому

i?=,s!

. Мы при­

шли к следующему-условию

причинности

.*tfWj> = £(в(і-Єв)

Cixj))

• S№t0-t)Cix,t>).

(і.зо)

Пусть

CL — PJ^CL — 8(S3-J-)CL(S)

. Это прігводит к тому,

что свободный

член

в

интегральных

уравнениях ( 1 . 3 4 )

равен

ну.'ао V- области

\x\s-Z-t

. Учитывая,

что систему

( 1 . 3 4 )

можчо рассматривать

в

области \х\£Л-£

, тогда

из е е

яольтерровости

по

t

следует u(xtt)—

О

при \x\iJ.-t

,т . е

••наченпе потенциала

C(x,t)

несущественно

в области

\x\iX-t

№1^))Рл=4([*-8а-&-\х\)](?(сс,ЦРл

.

( 1 . 4 0 )

Г'орвршеино

аналогично

из системы

( 3 . 3 5 )

получяем

$''(Ґис,ї»ал

~£''([і-8а-Л-\х-\)]С(я,і))дл

.

( 1 . 4 1 )

Если а~ (Рга.,,0)

, то свободный

член в системе (

1 . 3 4 )

равен

нулю в области

x+t^-Z

.

Поэтому решение

a(x,t)

в этой

области

равно

нулю, а значение потенииала при

х'Ь^Л-

несушественно.

Таким

образом,

<РХ

О

6(C(x,i))\

~

\=й(в(х+*-Л)С<х,Щ

"

) .

( 1 . 4 2 )

0

0)

[О

О

Кроме

этого,

из

условия

u(x,t)=

О

при з ? * ! ? 6 - 2

\\ асимп ­

тотики

( 1 . 4 )

решения

получаем

Q^fi^

О

, т . е .

( 1 . 4 3 )

Совершенно

аналогично

nojr/чаем

'О

0

\

10

0

( 1 . 4 4 )

о

Л

0

рл,

QЛ &It Рл

=0.

( 1 . 4 5 )

где

diag

£> =

diag

6.it)

Пусть потенциал

С'(x,t)~О

при t-J-%\x\

Тогда

в

этой области

решение имеет вид ut = Sf(x

*

t)

и£=

6t(t-x)

. Если

JVL>J. , то величина

=

-txQju.fi

=,€(Л

/и.)(3}^

-характеристическая

функ­

ция интервала

Х%,/і))

будет однозначно определена,

если

и з ­

вестно решение

u(jc,t)

в

пересечении

о б л а с т е й ^ x , t ) : f-d

»

Z\x\^n^(x,i):ju.-t

. С другой

стороны, решение в о б ­

ласти

^(x,i):ju-t»\jc^

зависит от потенииала

в

этой

о б ­

ласти

и значения

а

. Таким образом,

: i . 4 d )

3 .

Принцип

причинности и факторизация

оператора

рассеяния

Если

потенциал

С(х,

t)=-0

, то рассеяния

нет, и опе ­

ратор

рассеяния

_ " = _ "

. При "малых* C(xtt)

е с т е с т в е н ­

но ожидать, что и оператор рассеяния мало

отличается от Ї .

Если рассмотреть

интегральные

уравнения

( 1 . 3 4 ) задачи н е ­

стационарного

рассеяния

в

пространстве векторных ^функций . з а ­

висящих от х

и

t

,

с

нормой \\a(x,t)\\s = sup V

{\a1ix,b)\t+

+ \ue(x,t)\i)dx

,

то

при условий

*

+ 0 °

г

t°°

max

dt

( 1 . Э 0 )

статочно малых

дг

в равенстве

( 1 . 5 5 ) оператор >3>

отли­

чается

от

/

на

оператор

по

норме,

строго

меньшей

1

. Но

тогда из

( 1 . 5 5 )

следует

П(J

х

+

ffi-)a~°

•

^'го

П Р ° -

тиворечит

выбору

J-o

. Т е м самым лемма

доказана.

Н&рпду со

свойством

оператора

рассеяния,

данного

в л е м ­

ме 1 . 1

.очень

важными являются

свойства

( 1 . 4 8 ) .

В

совокуп­

Принцип

причинности: Вели

ib -оператор рассеяния

н е ­

стационарной

задачи рассеяния для

системы ( 1 . 1 ) , то для

л ю ­

бого -I

2 )

Pxdiag

$~'Qx-0

,

( 1 . 5 6 )

•3) Из fz3Pza=0

следует Рг

а

= О

Сформулированный

принцип

причинности

приводит к очень

в а ж ­

ному

свойству факторизуемости оператора

рассеяния, если

и з ­

известно,

что оператор

ї>

отличается

от Z. на оператор Гиль­

берта-Шмидта .

Т е о р е м а

1 У . 1 .

Оператор рассеяния

iS*

допускает

следующую

факторизацию

1)

diay£=I+W+

,

( 1 . 5 7 )

2 )

diag

£+W_

,

( 1 . 5 8 )

3 )

=

Bj-'d+bJ,

( 1 . 5 9 )

з')

d=a+A+r'<i+Aj.

(і.бо)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Равенства

( 1 . 5 7 ) - (

1 . 5 8 ) - ( 1 . 5 9 )

эквивалентны принципу

причинности на основании

результатов

г л . 1

(см.формулы

1 . 1 3 ,

теорему 1 . 1 ) .

Покажем, что

если

выполняются условия

( 1 . 5 7 )

и ( 1 . 5 8 ) ,

то_ (1 .. 59 )

эквивалентно

( 1 . 6 0 ) .

Действительно,

из

( 1 . 5 7 ) и ( 1 . 5 8 ) получаем

существо—

ванне (dt'ag .57"

и

(diag

. Если

А - п р о и з -