Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.07.2024
Просмотров: 162
Скачиваний: 0
вольный |
матричный оператор •' A = [ |
|
) |
, суще - |
|
|
|
\ аг1 |
a s e |
J |
|
ствует |
А' |
и существуют (diag А)~* |
и |
(diag |
A"1) f |
то легко получить следующее замечательное тождество :
|
|
|
A^(d;agA)6A-'ff(dmgA4y', |
|
|
|
( 1 . 6 1 ) |
|||||
Пусть |
имеет место |
представление |
( 1 . 5 9 ) . |
Положим |
||||||||
|
|
1 |
+ А+=б(1+ |
|
|
е>+)в(diag |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 6 2 ) |
|
|
f+A_=G(I+ |
|
|
BJG(diagd-frf. |
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ A+ |
y'(l+Aj=(diaf |
|
6)Є(І+ |
3+)~f(I+ |
B_)6(dicLg |
й'ОІ |
1 . 6 3 ) |
|||||
По из |
( 1 . 5 9 ) |
получаем (І+В+У* |
(І+а_у |
= 6"' |
|
. Под |
||||||
ставляя |
это значение |
в |
( 1 . 6 3 ) |
и учитывая |
( 1 . 6 1 ) , |
имеем |
||||||
( 1 . 6 0 ) . |
Совершенно |
аналогично |
из ( 1 . 6 0 ) |
получаем |
( 1 . 5 9 ) . |
|||||||
Следует отметить, что результаты теоремы 1У . 1 были |
||||||||||||
сформулированы и доказаны в главе И ( см . теорему |
П . 2 ) с |
|||||||||||
использованием |
операторов |
преобразования. |
Вышеприведенное |
|||||||||
доказательство проясняет физический смысл факторизуемости оператора рассеяния; факторизуемость оператора рассеяния выражает физическую причинность.
§ 2 . Описание операторов рассеяния нестационарной' задачи рассеяния для гиперболической системы на всей оси-
|
Рассмотрим |
нестационарные задачи |
рассеяния |
для |
с и с т е |
|||||||||
мы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ди(х,&) |
|
du(x,t) |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
( 2 . 1 ) |
||
|
dt |
- |
6 — |
+ L(x,t)u(X,t) |
|
-<х><х< |
+ °°, |
|
||||||
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
'/ |
О |
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 2 ) |
|
|
|
|
6={ |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-I |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
различных потенциалах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
/ |
0 |
|
C,(X,t)\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?(x,t)^\ |
|
|
|
|
I |
, |
|
|
|
|
( 2 . 3 ) |
|
|
|
|
\Cg(x,t) |
|
0 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющих |
условию, |
что |
C£^&,t) |
|
(к-1,2) |
комплексно- |
||||||||
значные |
измеримые по х |
и t |
функции, |
удовлетворяющие |
||||||||||
оценкам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
— г |
; |
|
|
|
|
( 2 . 4 ) |
|
|
\CA(*,t)\i |
|
|
ТГ> |
|
|
к=/,2; |
|
|||||
где |
£><7 |
фиксированно, |
а постоянная |
|
С |
может |
з а в и с е т ь от |
|||||||
C(x,t) |
. Совокупность |
операторов |
рассеяния |
таких |
задач обо |
|||||||||
значим |
через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ближайшая основная задача - дать описание класса ойера- |
|||||||||||||
торов ^ 5 J - £ |
, т . е . дать |
Необходимые |
И достаточные |
условия |
||||||||||
того, что заданный оператор Т |
является |
оператором рассеяния, |
||||||||||||
или |
более |
точно, |
что |
/ ^ { ^ / ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Отметим наиболее |
важные |
свойства |
операторов |
рассеяния |
|||||||||
из класса |
{ ^ } ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'• |
||
|
1 . |
О ц е н к и . |
Оператор рассеяния |
J |
имеет обратный |
|||||||||
і? |
, |
при этом |
F-S-1 |
|
и |
f/=S~f-r |
|
|
|
являются |
матрич- |
|||
ными интегральными операторами Гильберта-Шмидта, ядра к о торых удовлетворяют оценкам
\Flt,s) |
| & |
|
|
|
|
|
№ |
- ф |
|
|
|
|
( 2 . 5 ) |
||
(эти опенки |
установлены |
в гл.П с м . ( 2 . 9 2 ) ) . |
|
|
|
|
|
||||||||
П. К о в а р и а н т н о с т ь . |
Если |
6> |
оператор |
рассеяния |
|||||||||||
из класса •[_?}•_ |
, то при любом |
х |
оператор |
J~ Sff", |
|
так— |
|||||||||
же является |
оператором |
рассеяния |
из класса |
|
\o)t |
|
|
|
|||||||
(Этот |
факт |
установлен в |
§ 1 |
настоящей |
г л а в ы ) . |
|
|
|
|
||||||
III. П р и ч и н н о с т ь . |
Всякий |
оператор |
рассеяния |
из |
к л а с |
||||||||||
са |
допускает факторизацию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
diag |
S=.[+W+, |
diag |
&"1 - |
1+ |
W_ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 6 ) |
|
|
|
|
6= |
(І+А + ГГ(І |
+ A_) , |
|
|
|
|
|
|
|
|||
где A+ , W + |
и |
A., |
W _ |
- матричные интегральные вольтерров- |
|||||||||||
ские операторы с переменным верхним и соответственно |
ниж |
||||||||||||||
ним пределами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Условие Причинности подробно обсуждалось |
в |
§ |
І |
настоящей |
|||||||||||
г л а в ы ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основной |
результат,, |
который |
будет |
доказан |
, |
заключается |
|||||||||
в том, что свойства 1 , I I , 111 являются |
определяющими |
для о п е |
|||||||||||||
раторов рассеяния |
из класса { > ! > } с |
• А именно, |
справедлива |
||||||||||||
следующая |
основная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
^ Т е о р е м а |
|
1 У . 2 . |
Пусть оператор |
/*" |
имеет |
обратный |
|||||||||
_г~ |
. При этом F-g*-I |
|
и if=f~'-I |
интегральные |
опера |
||||||||||
торы, ядра которых удовлетворяют оценкам ( 2 . 5 ) . |
Если при |
||||||||||||||
любом |
гх |
оператор ^ р _Г |
|
удовлетворяет |
условию |
при |
|||||||||
чинности ( 2 . 6 ) , |
т . е . существуют интегральные |
вольтерровские |
|||||||||||||
операторы Гйльберта-Шмйдта |
А+(Я) |
, Vt^fceJ |
и |
AjX) |
,W„rx), |
||||||||||
такие, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
diag fffA= |
Г+ W+(±), |
ГK = I+ w-<*)> |
то тогда |
и только |
тогда |
оператор f является |
оператором |
|||
рассеяния |
нестационарной |
задачи |
рассеяния |
для системы |
|||
( 2 . 1 ) на |
всей оси |
с |
потенциалом |
С(хЛ) |
, удовлетворяю |
||
щим оценке ( 2 . 4 ) |
и |
однозначно определяемым |
по оператору |
||||
Г •
Доказательство этой основной теоремы разобьем на
несколько |
пунктов. |
|
|
|
|
|||
Вначале |
изучим свойства |
А -операторов из условия |
||||||
( 2 . 7 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
Оценки |
ядер |
А |
-операторов |
|
|||
Л е м м а |
2 . 1 . |
Пусть |
для |
оператора ^ |
выполняются все |
|||
условия |
теоремы |
1 У . 2 . Тогда |
ядра |
Ся, ,г1 ,^)||1 |
||||
операторов |
Af(X) |
|
допускают |
оценки |
k,l-f |
|||
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
t f |
|
|
|
|
(f+\t+£f\)t*tu*-\t-£,-2x\),+i |
|
||
с
( 2 . 8 )
— |
— , |
*,*t, |
х * 0 ; |
|
С |
|
|
\A_fl(x,tM*- |
— |
)t,>,t, |
X4 0. |
