Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

Кроме

того, из условий причинности следует

(см.теорему"

1 У . 1 )

двусторонняя

факторнзуемость

f'(x) .

Из

факторизации f(x) -

(1 + А+(х)) Ч

( 1 + А . (а:))

легко

получаем

систему

уравнений

для

At

(X)

и

А_(х)

F

(х)

і- [А +

(Х)/_(Х)]_

~

Ajx),

(•2.12)

(х)

+ [ А . и х )

(х)\ , = 4+

( х )

,

которая и силу двусторонней факторизуемости

оператора

^(Х)

однозначно

разрешима.

Переходя п ( 2 . 1 2 )

к

ядрам

и учиты­

вая ( 2 . 1 0 )

, получаем

следующие

четыре

распавшиеся одно­

значно

разрешимые

системы

уравнений

(х

и

і

-играют

роль

параметров)

^

Л .

Л )

= J A4t(x.t,i2)Ftf<x,4.%)ct$.

,

t

;

( 2 , 1 3 )

А

^ І , Щ

^ х ^ )

с

і Ч

г

Sit-

( 2 . 1 G )

\ „ < - * . ^ > - А _

и ( х , г

, &

?г,<*,?А)*7,

Априори из условий теоремы известно;

лишь, что

ядра At

^х,1^)

при фиксированном х

суммируемы с квадратом по

г1

и <* .

Однако

в силу

уравнений

( 2 . 1 3 ) - ( 2 . 1 6 )

и известных

о ц е ­

нок

( 2 . 1 1 )

ядер этих

уравнений можно получить и сформули­

рованные в лемме оценки A^^g

(x,t,%)

Остановимся более детально на способе получения

лишь

первой

оценки

в ( 2 . 8 )

для

(x,t,*~>)\

С

этой целью

рассмотрим

систему

уравнений

( 2 . 1 6 )

в

Ьг

по переменной

ё,

.

Так как система

уравнений

( 2 . 1 6 )

непрерывно

в

Z £

зависит от

параметров

и t

,

то в

с и ­

лу

ее фредгольмовости

и однозначной разрешимости

делаем

вывод,

что

А.п 1-я:, t,£,)

и A

(x,t,£,)

, как

в е к т о р -

функции по

£,

из

L.

, непрерывно зависят от я

и •£ .

Производя оценки по неравенству Буняковского с

учетом

( 2 . 1 1 ) ,

получаем

\А.гг(х,*А)\

^

lx,t,?)\

drA

а,

(х,

t)

( 2 . 1 7 )

а Ах,і)

( 2 . 1 8 )

\\„(*.*А>\*

где a., (X,i)

(к- /,£) — непрерывные функции по х

и t

к

Обозначая

max

\ajx,tX)\ = a_(t),

max

\af (x,t,c,)\

= a , ( t ) }

( 2 . 2 3 )

£,>t,\x\&/v

$£t,\x\i#

перейдем к оценкам в t ( 2 . 2 2 ) ,

используя

( 2 . 1 1 ) ,

\ajx,t£)\±C(N)aJt)

(f+\t+m/At-K\)

-

d o

со

( 2 . 2 4 )

«At

+

KWAt-t,\)

\a+{x,t£)\$C(N)\i+

Величина

~ГА^—~Е\

' с

т о я ш а я

п о д

интегралами

в

( 2 . 2 4 )

в

обоих случаях

меньше

1 ,

ибо в

первом

случае ^ttzrz

,

а

во

втором

ё { ^

71

. Величина

1+\t+£>\

4 / ^

так как

\у +

f

+ \t-q\

+\q->-£,\

+

.

Учитывая это, из ( 2 . 2 4 )

.получаем

a

(t)iC(H)ajt)

( 2 . 2 5 )

1+ а

Ш

Если

Т~

T{N)

—

достаточно

большая

величина,

то

при

\t\tT

из

( 2 . 2 5 ) ,

получаем

( 2 . 2 6 )

Таким

образом,

С

( 2

. 2 7 )

с

Рассмотрим

теперь

оценки

решения системы ( 2 . 1 6 )

при

- > - оо

_ Если в системе ( 2 . 1 6 )

исключить

Ag

(зс,£,£>)

, то

получим

уравнение для

A^gf (&,£-,$,) :

t

oO

\itl*,t£)(f*\i

+ *,V

(Mt-Z-te\)

=at£/(*.t.e,).

( 2 . 2 9 )

Покажем, что при

иЭС£-Л/

( 2 . 3 2 )

Действительно, при £,£t

,

, учитывая ( 2 . 1 1 ) , и м е ­

ем

dt,

-< с

- с