Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.07.2024
Просмотров: 160
Скачиваний: 0
если |
только асі-Л/ |
| а |
А/ —достаточно |
большое |
число. |
|
|||||||||||||
|
Исходя |
из |
уравнения |
( 2 . 3 0 ) |
легко |
получить |
оценки при |
|
|||||||||||
х£-Л/ |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
таж\ар/*>*М* |
|
|
|
£+{та-х |
\а |
Ax,t,t,)\. |
|
|
|
|
|
( 2 . 3 4 ) |
|||||||
Из |
( 2 . 3 4 ) |
имеем |
|
max |
\а |
(x,t,K)\^£C |
|
|
, |
а |
учитывая |
||||||||
( 2 . 2 9 ) , |
получаем |
|
^ |
* |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А |
(х,Ш\< |
|
|
|
_ |
|
|
|
|
— |
_ |
|
|
|
, |
( 2 . 3 5 ) |
|||
|
Из |
приведенных |
оиеьок |
( 2 . 3 5 ) , |
( 2 . 2 7 ) , |
( 2 . 2 0 ) |
легко |
|
|||||||||||
заключить, |
что п р и - э ? * ^ , £ |
6 t |
|
существует |
постоянная Ґ |
т а |
|||||||||||||
кая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
* г |
1 |
' |
' |
|
|
|
(f+ft+ej)ue-(S+\€-e,-?xi)'+e- |
|
|
|
|
|
|||||||
Этим |
заканчиваемся |
получение первой |
оценки |
из |
( 2 . 8 ) . О с |
|
|||||||||||||
тальные |
три оценки |
( 2 . 8 ) могут быть получены совершенно |
|
||||||||||||||||
аналогично |
из |
соответствующих |
систем |
уравнений |
( 2 . 1 3 ) - |
|
|||||||||||||
( 2 . 1 5 ) - . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Если оценки ( 2 . 8 ) получены, |
то |
оценки |
( 2 . 9 ) |
и даже |
б о |
||||||||||||
лее |
сильные |
легко |
|
получить, |
мажорируя |
|
правые |
части |
выраже |
||||||||||
ния для A±H(x,t,e,), |
|
А+ге(Х,і,£,) |
в |
системах |
( 2 . 1 3 ) - ( 2 . 1 6 ) |
с |
|||||||||||||
учетом |
( 2 . 1 1 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 . Дифференциальные уравнения для |
ядер |
А —операторов |
||||||||||||||||
|
|
Л е м м а |
2 . 2 . |
Пусть |
для |
любого |
X |
оператор |
^ |
f ^ - |
x |
||||||||
допускает правую |
факторизацию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
^ |
Г ^ |
х |
^ и * * * ^ ^ * |
А.(х)) |
• |
|
|
|
( 2 . 3 6 ) |
||||||
Тогда |
ядра |
A^(x,tAK) |
операторов |
А у (х) |
и Ajx) |
„ |
обоб |
||||||||||||
щенном |
с м ы с л е удовлетворяют |
дифференциальным |
уравнениям |
||||||||||||||||
д |
д |
д |
at - |
ox - |
at, ~ |
t |
|
C±(x,t)A±(x,tA)^0, |
|
|
|
|
|
|
( 2 . 3 7 ) |
||||||
г де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(?+«с&=-А+(х,ЫяОА,(x,t,t)<o, |
|
Cixfr |
|
A_(x,t,t)-6Ajx,t,t)6.(2.3S) |
|||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Прежде в с е г о |
покажем, |
что |
почти |
||||||||||
для |
в с е х |
(х. |
t) |
|
существуют |
выражения |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
A±(x,t.t)-6A±(x,t,t)&. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Действительно, |
из факторизации |
( 2 . 3 6 ) , |
полагая х-=0 |
, |
полу |
||||||||||
чаем существование |
|
и |
представление |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
-і |
|
|
|
|
|
( 2 . 3 9 ) |
||
г д е |
F |
и |
if |
— операторы |
Г.—Ш. Кроме |
того, из |
( 2 . 3 6 ) |
у м |
|||||||
ножением на 1+ А+ (х) |
слева, |
|
получаем |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 4 0 ) |
||
Переходя |
в |
( 2 . 3 6 ) |
к |
обратным |
операторам |
и умножая |
|
слева |
|||||||
на |
1+А_(х) |
|
имеем |
также |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
А_(ж>+ |
|
|
+ А_ (х) |
f . {/Ух |
_ А+ |
(л). |
|
( 2 . 4 1 ) |
||||||
Запишем |
уравнения t( 2 . 4 0 ) |
и ( 2 . 4 1 ) |
для |
ядер |
|
|
|
||||||||
A+(x,t,e,)+F(x,W |
At«*,t,q)F(<*:,qtK)cly~0, |
|
|
|
( 2 . 4 2 ) |
||||||||||
А_(ас,і,£)+&({с,І£у |
|
Л-(*,t,%)&<x.?A)d?-=17, |
£ * t |
; |
|
(2.43) |
|||||||||
где |
|
FU,i,e,)-- |
( 2 . 4 4 ) |
Fgf(t-*A+x) |
FeeU-a:,£,-x) |
if(x,t£)= |
|
|
|
|
( 2 . 4 5 ) |
|
|
|
ге |
|
|
a H ^ A ^ ' M L A = / |
> |
г |
- |
матричные ядра |
|
А=/ |
|||||
операторов F |
и |
if |
|
|
|
Следует |
отметить, |
что в силу |
правой |
факторизации ^.^f^. |
|
и левой факторизации обратного оператора, интегральные урав
нения ( 2 . 4 2 ) и ( 2 . 4 3 ) |
фредгольмовы и однозначно |
разрешимы. |
||||||||
Из |
( 2 . 4 2 ) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
||
At(x,t£)-eA+(x,t£)e=-[F(x,t^)-GF(x,tA)0] |
|
- |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Л f (x,t,?)F(x, |
r?A)d?(?- |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 4 6 ) |
Так |
как |
правая |
часть |
в |
( 2 . 4 6 ) |
имеет смысл при |
|
почти |
||
для |
в с е х |
lx,t) |
, то и левая часть существует |
при t~t, |
: |
|||||
Аналогично |
из |
( 2 . 4 3 ) |
получаем |
существование |
почти |
при в с е х ос |
||||
\Ajx,tA)-GbA*.tA)G] |
( 2 . 4 8 ) |
Рассмотрим разностный аналог цифференциального выра^
жения, стоящего |
в |
левой |
|
части |
( 2 . 3 7 ) : |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 4 9 ) |
|
|
\%Іх4к'М^-к)-Фігіа,ІЛ) |
|
Ф№к,*+Н£+кУФ |
(x,tA)) |
|||||
Если |
Ф(х7£,£,) |
= \\Ф.м(х,і,Е,)\\ |
• к _ і |
непрерывно |
|||||
дифференцируемая функция по х,^,£, |
, то легко показать, |
||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дф |
$ф |
|
дф |
|
|
|
Еіт |
і,Ф(я,Ш~ |
|
|
6 |
+° |
& .. |
( 2 . 5 9 ) |
||
k-* a |
|
|
dt |
|
dsr. |
dt, |
|
|
|
С другой стороны, при любом /г |
|
|
|
||||||
/,^«г,і,£,) |
= 0, |
|
lhif(sc,tt$)=0. |
|
( 2 . 5 1 ) |
||||
Применим |
оператор |
L. |
к уравнению |
( 2 . 4 2 ) |
|
|
|||
|
|
|
<t |
|
у. |
|
|
|
|
• |
' |
|
|
|
Г |
|
|
|
|
L A^a,t£)- |
tyx,t)F(x,t£)+ |
|
Lhbt(x,t,q)F(x,y,Z)d$ |
= rfi(xt,£) |
, |
||||
|
|
|
|
|
- о о |
|
|
( 2 , 5 2 ) |
|
где
/ |
# |
. Л tx |
hiih,ii-НУ |
Л )dy.
А,.ЛХІh,i*h,->j h)
