Файл: Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.07.2024

Просмотров: 132

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Осестремительное ускорение направлено от точки к оси вращения

Woc~ u 3 x tf= & x (cü x z)= < ä (cb r)-7 (a o 2) •

Иохно показать,

что осестремительное ускорение все­

гда направлено

от точки

А1

к оси вращения по крат­

чайшему

расстоянию.

и

Wgc

может быть любой.

Угол

между

 

 

§ 3 . Углы Эйлера. Аналитический метод определения мгновенной угловой скорости и мгновенного

углового ускорения

Чтобы определить положение тела в пространстве, проведем две системы координат. Начала обеих систем сов­ падают и совмещены с точкой 0 . Подвижные координатные оси образуют с неподвижными девять углов (рис. 8 3 ) .Для этих девяти углов можно написать только весть уравне­ ний. Следовательно, из девяти углов шесть будут зависи­ мые, а три независимые.Поэтому удобнее пользоваться уг­ лами, которые будут независимые и однозначно определяю­ щие положение тела. Такими углами будут углы Эйлера:

угол

Ѳ

-

угол прецессии}

угол

y s

-

Угол нутации;

<р

-

угол

 

угол собственного вращения.

Изменение кавдого угла создаст угловую скорость. Соответствующая угловая скорость будет располагаться по оси , перпендикулярной к плоскости изменения угла.

Мгновенная угловая скорость может быть представлена в виде суммы угловых скоростей:

98

( 7 )

Вектор 'Ф'+'р ±_ Ѳ , следовательно, можно легко оп­ ределить величину мгновенной угловой скорости;

со =

z+ f z+ 2 ffc o s Q .

(8)

Найдем проекции угловой скорости на подвижные и не­

подвижные оси координат (рис.

8 3 ). Считаем,

что

9 = G ( t ) )

f = f ( t )

( 9 )

- уравнения движения.

 

 

99

СОд.= è COS W+ fs in Ѳ sin W j

è s in ty~ f s i n Ѳ cos W\

co^—fy t if+ tfcosQ

-

проекции на неподвижные

оси.Ѳ cos p j

 

сб>^=

f t

 

ф sin Ѳ sin

 

ООур Ф $ігг Ѳ cos f ~ è s in p j

 

cQg= f cosQ ■*

p

( ІО )

(II)

 

-

проекции на подвижные оси.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим проекции углового ускорения на оси коорди­

нат:

 

 

и) = иэх г t aJyj. t -а)г i

j

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

-

 

r

dcoо

-г

dcoP -

( - w

 

 

w

 

 

г-

dco

' V «

*

da)x

 

 

 

■

 

 

 

 

 

V

A

* ■>

орты i

 

 

 

 

 

 

 

1*-

 

 

jj.i'k

 

не меняит ни величины, ни направления.

Значит ^х^^х

у

у

 

 

ускорения

(12)

 

Выражение

12 - проекции углового

на непод­

вижные

оси .

скорреть можно

записать

 

и так:

 

 

 

 

Угдовув

 

 

 

(13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

где i, , j ' 7 kt - меняют свое направление при вращении тела. В этом случае

-

 

du)

‘

d

,

—

—

г \ ’

т

*

.£

 

т •

-

di,

olL

с/к,

 

~ d t

 

 

 

 

 

 

 

■

Так как

изменение

 

+u,^

i

 

 

i,7

J.,, к,

происходит

только за

счет вращения, то производные от единичных векторов мож­

но

представить как скорости концов этих векторов,

 

т .е .

и

і = с о х і '

 

>

Ь г со * к,

 

 

 

 

 

 

“ Jo I , + “>г, *! )

 

 

 

ё - Ѵ х У Ѵ у 'і+ Ѵ і ,

 

 

 

 

или

è-cbx'l + cbyJ + dOzk' ,

(

14

)

так

как

1, + u3bS

) = *>Х4) =0

 

 

<0*

 

 

 

 

‘ СО.

7 * > ^У'

’

6it, = и)it

(15)

 

X ,

- проекции углового

ускорения

на подвижные оси.

 

 

 

ІО І

$ 4 . Аналитический метод определения линейной скорости и линейного ускорения точек тела

СКОРОСТЬ ЛВбОЙ ТОЧКИ: (S-CÖ X.-Z .

Спроектируем это выражение на неподвижные оси:

ty *c0 gx -cax g ’, >

(16)

 

Проекции той же скорости на оси , связанные с телом, будут такие:

(1 7 )

со

оо

>

со, -

находят по формулам

(1 0 );

со

■

*»со

со*

-

находят по формулам

( I I ) .

*7

» У>7

3

 

(18)

- величина скорости.

Направление скорости определим по направляющим ко­ синусам:

102

Ускорение любой точки тела:

W = E X г +CÖX D- = £Л г > сЬх(й>х г) = £* г + <й>(й?г)-7со-

Проекции ускорения на неподвижные оси:

W=r

- £гр + «Ъ (“ Ъ*+и>2#+<Чг)-

 

 

-х(согх +со*+сог ) ;

 

 

(19)

W^ezx~ßx z i - a J ^ x x + сОуу+cOsz) -р(сох і-аЗрt

) ;

 

f

 

* а>у?+иЪ * У г (oox + co *+ Jg) .

_

Точно также можно написать проекции ускорения на

оси, связанные с телом.

так:

 

 

Величина ускорения определяется

 

 

а направление

 

w = jw *+ w *+ w g2 ,

 

 

 

через косинусы

 

 

 

 

Wx

у.

Щ

*

•

(20)

cosö - r

W

cos’ß ~ w у coso r ^щr

Глава У . Сложное движение точки и твердого тела

§ I . Сложное движение точки

Рассмотрим движение точки ІЛ относительно системы

ЮЗ

координат

л ,,

, г,

»которая самаx двихется

в простран­

стве (ри с. 8 4 ).

Система координат

y z

-

неподвижная.

 

 

 

 

 

 

Эту систему координат будем называть абсолютной системой отсчета.

і?а у Wa

- скорость и ускорение точки М

относи­

X , у ,

г

/

 

тельно абсолютной системы отсчета;

7

 

 

- относительная система отсчета*

 

 

 

7

~

скорость и ускорение относительно под-

Ö-

?

W

вилной системы отсчета.

 

 

Движение

точки

М

относительно подвижней системы

отсчета

называется

о т н о с и т е л ь н ы м

д в и ­

ж е н и е м

т о ч к и .

системой

Движение

точки

М

вместе с подвижной

координат называется

 

п е р е н о с н ы м

д в и х е -

н и е м т о ч к и М.

относительно **селвтной системы

Движение

точки

 

104

Смотрите также файлы