Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

ние

таким образом, что

будет

выполняться

тожде ­

ство

(4).

Примерами

нормированных алгебр

являются

уже

известные нам алгебры комплексных чисел,

кватернио­

нов и октав. Их

нормированность

следует из

того,

что

в каждой из этих алгебр справедлива формула

(4');

при

этом, чтобы все в точности соответствовало

определе­

нию нормированной алгебры, нужно только

указать

такое

скалярное

произведение

(ж, у),

для

которого

выполнялось

бы

равенство

| х | =Y(X>

*)•

В случае

ние определяется

формулой

(z,

z')

=

х1у1

+

Х2У2,

где z — Xi-\-yxi,

z'

=

л'о +

y2i,

для алгебры

кватер­

нионов

(q,

q')

=

Xtft

+

х2у2

+

ХзУз +

x4yit

где q = ж, + x2i

-f- *з/ +

xAk,

q' =

yx + y2i +

y3j +

У^\ ана­

логичным

образом

определяется скалярное

произведение

в алгебре

октав .

3°. Заключение.

Итак,

мы

доказали,

что

каждому

ванную

алгебру si.

Умножение

любых двух

элементов

х = x\ix

+ ...

+

*nin,

У =

У\Н + . • • • +

У^п

в этой

алгеб­

ре определено

по формуле

жу = Ф , 1 , +

. . .

+

ФП *„,

(5)

а

скалярное

произведение — по

формуле

(ж,

у) =

ххух

+

х2у2

+ . . .

+

хпуп.

В

алгебре si

элементы

i\, i2,

in

образуют

ортонор-

мированный

базис;

при

этом

тождество

(!) .есть

не что

иное, к а к . у с л о в и е

нормированное™ алгебры si-, запи­

санное

в этом

базисе.

Легко видеть, что справедливо и обратное

утвержде­

ние, а

именно: если

дана

произвольная

нормированная

алгебра" si

и

в ней

выбран

любой

ортонормированный

базис

«1, i2,

in,

то, записав закон умножения в этом

базисе, получим ч форм Ф(,

Ф 2 , . . . ,

Ф„,

а записав ус­

ловие

нормированное™

алгебры

si,

получим

тожде­

ство (!) с этими формами

в правой

части.

ключению.

Все

наборы

форм

Ф ь

ф 2 , . . . ,

Ф„,

удовлетворяющие

тождеству

(!),

могут

быть получены следующим

путем.

Нужно

взять

любую

нормированную

алгебру

s4- и

в

ней

произвольный

ортонормированный

базис

i u

i2, ...,

i„,

затем

записать

закон

умножения

алгебры

s4- в виде

(5).

Отсюда видно, что задача перечисления

всех

тож­

деств (!) сводится к двум

з а д а ч а м :

1)

разысканию

всех нормированных

алгебр;

2) записи закона умножения для каждой из таких

алгебр в к а ж д о м из ее ортонормированных

базисов.

Первую

из

этих

задач

мы рассмотрим

в

ближайших

рованные алгебры.

Н и ж е будет доказана теорема,

впер­

вые

установленная

немецким

математиком

А. Гурвицем

в 1898 г. Она хотя и не дает еще полного

перечисления

всех нормированных алгебр, но все

ж е

снимает

основ­

ную долю трудностей, связанных с

решением этой за­

дачи.

Т е о р е м а

Г у р в и ц а .

Любая

нормированная

ал­

гебра

с единицей

изоморфна

одной

из

четырех

алгебр:

действительных

чисел, комплексных

чисел,

кватернионов

или

октав.

ше,

существуют нормированные

алгебры,

не содержа­

щие

единицы; такие алгебры не

могут быть

изоморфны

каждой

из этих

четырех

алгебр единица имеется.

Итак,

пусть

$Ф — нормированная

алгебра

с едини­

цей. Напомним,

что мы

условились

называть

алгебру

изведение со следующим

свойством:

{аЬ,аЬ)

= {а,а)(Ъ, Ь).

(1)

4*

99

щую идеи

доказательства, после

чего

заполним

«дыры»

в проведенных рассуждениях.

^

2°. Набросок

доказательства .

Обозначим

единицу

алгебры

эФ

через 1.

К а ж д ы й

элемент

,а

одно­

значно представляется в виде суммы

двух с л а г а е м ы х * ) ,

из которых

одно

пропорционально 1, а

другое

ортого­

нально 1:

a = k\ + а ' ,

где k — действительное

число, а

а ' 1

. 1 .

Введем в ал­

пряженный

а,

есть

_

a =

k\

— а'.

В частности,

если

элемент

а пропорционален

1, то

а—а;

если ж е а

ортогонален 1,

то

а ——а. Очевидно

также,

что

_

а =

а

и

_

_

а-\-Ь

=а

-f- ft.

Теперь,

когда

в алгебре

s4

введено

сопряжение,

доказательства

теоремы.

Пусть

°U —

какая-нибудь

подалгебра

алгебры

s4,

со­

держащая

1

и

не

совпадающая

со

всей

алгеброй.

Вы­

берем

в

°U

баз,ис

из элементов

1,

i\,

i2,

....

i„,

где

h, h,

i n

ортогональны

1,

тогда для

любого элемента

«о +

M i +

• • • +

fln'n

и-з

°U

сопряженный

будет

а0

—

— aiti — . . . — anin.

Отсюда

видно,

что

если

элемент

и

принадлежит °U, то и сопряженный

ему

элемент

U

так­

ж е

принадлежит

°И.

Согласно теореме § 12, существует

ненулевой

век­

тор,

ортогональный

°U\

умножая

его

на

подходящее

число,

получим

единичный

вектор

е, ортогональный

Щ.

Будет

показано,

что

множество

элементов

вида

и, +

ще

(и, е= <U, и2 е= <U)

(2)

замкнуто относительно умножения, т. е. снова

образует

подалгебру. Обозначим

последнюю

<U +

°lLe- Мы

дока­

жем,

что:

I)

представление любого элемента из Ш-^-Ще

в

виде (2)

возможно лишь

единственным

образом;

I I )

для произведения элементов вида (2)

справед­

лива

формула

(ы, -4- « 2 е

) fai +

v2e)

=

(wit;, — v2u2)

+

(t»2«i + u2Vi)е-

(3)

Сопоставив эти факты с процедурой удвоения, описан­

ной в § 6, мы приходим к следующему заключению:

под­

алгебра

°U + °Ue

изоморфна

удвоенной

подалгебре

°U.

Теперь

основные

трудности

в

доказательстве

тео­

ремы

остаются

позади.

П р е ж д е

чем

перейти

к

завер ­

шающему этапу доказательства, сделаем одно

замеча ­

ние по поводу сопряжения в алгебре s4-.

Поскольку алгебра si- содержит единицу, то в ней

имеется

подалгебра,

состоящая

из

элементов

вида

k\.

сел; обозначим

ее SD. Если в

предыдущих

рассуждениях

в качестве 01 взять подалгебру 3),

то е

будет

любой

вектор длины

1, ортогональный

1. Из

формулы

(3) то­

гда следует, что

е 2 = ( 0 + 1 е ) ( 0

+

1е) =

— 1 .

вектора

а', ортогонального

1,

равен XI, где X =ё" 0. Легко

доказать

и

обратное:

если

квадрат

какого-либо эле­

мента равен

XI, где

X ^

0,

то этот

элемент ортогона­

только

они

характеризуются

тем, что их квадраты рав ­

ны XI,

где

Д.

0.

Это

позволяет

нам

описать по-дру­

гому сопряжение в

алгебре

s4-: для

произвольного-

эле­

мента

н е

si-

берется

его

единственное

представление

k\ +а',

где а'2 =

Х1,

Я < 0 ,

тогда

а =

k\ — а'.

*)

Действительно,

квадрат любого элемента, не ортогональ­

ного 1, т. е. элемента

вида a — ki+d',

где к Ф

0,

a' _L 1,

равен

(ki + a') (ki + а')

= k4 + а'2 +

2ka' =

k4

+

ц.1 + 2ka'.

Если

это выражение

пропорционально

1,

то

а' =

0,

следовательно,

а =

к\,

но

квадрат

такого элемента

не

может

равняться

XI, где

X «S

0.

.101