Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.07.2024

Просмотров: 113

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

к умножению

всех

коэффициентов

Ь0, Ьи

 

Ьп на а\

(а +

0г,+ . . .

+

0i„)

(b0 + Ь{ц

+ . . .

+bnin)

=

 

 

и

 

 

 

 

= abQ

+ ab^i +

... +

abjn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(&0 +

6,£,+ . . .

+

&„i„)(a +

0i1

+ . . .

+0i„)

=

 

 

В

частности,

 

 

=

а 6 0

+

аб^, +

• • •

+-abnin.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 . d = г»

и

v

• \

=v,

 

 

 

где г; — любое

гиперкомплексное

число.

 

 

 

2)

Если и

м v — гиперкомплексные числа, то

 

 

 

 

(аи) (bv)

= (ab)

 

(uv),

 

 

 

где а и b — произвольные

действительные

числа.

 

' 3 )

Справедливы

оба варианта

(левый и правый)

рас­

пределительного

закона:

= UV +

 

 

 

 

 

 

 

 

и (v + w)

 

UW,

 

 

 

 

 

 

(v -f- w) и =

vu

+

 

wu.

 

 

 

Свойства 1), 2), 3) очевидным образом следуют из

самой процедуры умножения . Е щ е

раз подчеркнем,

что

они

справедливы

в

любой,

гиперкомплексной

системе.

2°. Коммутативные, ассоциативные системы,

системы

с делением. В

противоположность указанным выше свой­

ствам другие «хорошие» свойства операции умножения, такие, как

uv — vu

(переместительный закон)

и

 

(иг») w — u (vw)

(сочетательный закон)

выполняются далеко не в к а ж д о й пшеркомплексной си­ стеме. Если д л я любых двух чисел и и о, принадлежа ­ щих данной гиперкомплексной системе, справедливо ра­ венство

 

uv

=

vu,

 

то т а к а я система называется

 

коммутативной.

В этом месте необходимо сделать замечание по по­

воду дальнейшей терминологии.

Д е л о

в том, что в со­

временной

математике

вместо

слов

«переместитель­

ность» и

«сочетательность»

приняты

имеющие соответ-

34

 

 

 

 

 

l

ственно тот ж е смысл термины «коммутативность» и «ассоциативность». Начиная с этого параграфа, мы бу­ дем пользоваться только ими.

Рассмотренные ранее системы комплексных чисел, двойных и дуальных являются коммутативными; напро­ тив, система кватернионов не коммутативна.

Нетрудно сообразить, что должно означать условие коммута­ тивности в терминах таблицы умножения (3). Поскольку в случае коммутативной системы должно быть

ia ip = ipia

(a, Р — любые номера от 1 до п),

то

 

 

 

 

Pap. о + Pap.l'l +

••• +

Pap, nin = Ppa-.o +

Ppa, i«i + •••

+Ppa,n«n

и, следовательно,

 

 

 

 

Pap,o =

Ppa,o.

Pap.l = Ppa,I. • • ч

Pag, n — Ppa, n

(4)

(a, P — любые номера от 1 до п).

Обратно, если выполнены эти равенства, то данная система, оче­ видно, является коммутативной. Таким образом, наличие соотноше­ ний (4) между числами pap.v задающими таблицу умножения, есть необходимое и достаточное условие коммутативности.

В случае, когда дл я любых трех чисел и, v, w из данной гиперкомплексной системы выполняется равен­ ство

 

 

(uv)

w = u (vw),

система

называется

ассоциативной*).

Условие ассоциативности тоже, разумеется, означает наличие

определенных

соотношений

между числами Рар,^ каких именно —

предоставляем

выяснить читателю.

К а к

мы знаем, системы комплексных, двойных, ду­

альных

чисел, а т а к ж е

кватернионов являются ассо­

циативными. Простой пример неассоциативной системы

дают числа вида a-\-bi-\-cj

с таблицей умножения

j 2 = o ,

/ 2 = о, j i = o, ; / = / .

В этом случае (ii) j

Ф i (ij).

 

Согласно определению гиперкомплексных чисел, над ними можно производить действия сложения, вычитания и умножения . Что касается деления, то оно возможно для очень немногих гиперкомплексиых систем,. Впрочем,

*) Заметим здесь, что, определяя гиперкомплексную систему, мы отступили от. исторической традиции. Обычно условие ассоциа­ тивности включается в определение гиперкомплексной системы.

2* 35

здесь следует точно сказать, что подразумевается под

возможностью

деления.

 

 

 

 

 

Говорят, что д а н н а я

гиперкомплексная система

есть

-система

с делением

(или что в ней возможно

деление),

если к а ж д о е из уравнений

 

 

 

и

 

 

 

vx = и

 

 

 

 

 

 

xv = и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет

решение, и

притом

единственное, при любых и,

v, где v фО.

Решение

первого уравнения

называется

левым

частным

от деления и на v, решение

второго —

правым

частным.

Вообще

говоря,

левое и правое

част­

ные не

совпадают.

 

 

 

 

 

Примерами

систем с

 

делением

являются

комплекс­

ные числа и кватернионы. Размерность первой из этих систем равна 2, размерность второй равна 4. Удивитель­

ный факт, о котором мы еще" будем

говорить впослед­

ствии,

установлен

совсем

недавно:

гиперкомплексные

системы

с делением

могут

иметь

только

размерности 2,

4 и 8. Отсюда

видно, что в общей

массе

гиперкомплекс­

ных систем системы с делением встречаются

весьма ред­

ко. В частности, гиперкомплексная

система,

состоящая

из чисел вида

а + Ы -f- cj с любой

таблицей

умножения

(размерность

такой

системы равна

3),

является систе­

мой без -деления.

§ 6. Процедура удвоения. Октавы

Мы р а с с к а ж е м здесь еще об одной замечательной си­ стеме гиперкомплексных чисел, называемых октавами.

Так же, как для комплексных чисел и кватернионов, д л я октав определены не только сложение, вычитание и

умножение, но и деление. Кроме

того, рассмотрение ок­

тав позволяет сделать еще один

шаг в «задаче

о

сумме

квадратов», поставленной

в конце § 3, и получить

тож ­

дество

(!) дл я п = 8.

 

 

 

 

К а к

показывает само

название «октавы»

(восьмер­

ные числа), это — выражения, состоящие из восьми чле­

нов. Д л я записи

таких выражений необходимо иметь 7

«мнимых

единиц» ц, i2,

h- И т а к ,

октавы — это вы­

р а ж е н и я

вида

 

"

 

а0 +

<Mi +

a2i2 + a3i3 +

а4 *4 + a5i5

+ ' a 6 t 6 + a7i7,

36

где а0, аи

а2, а3, а4,

а5, aSt

а7 — произвольные

действи­

тельные

числа.

 

 

 

Закон

умножения

октав

довольно сложён,

поэтому -

определять его сразу мы не будем. Вместо этого мы опи­ шем одну процедуру, которая позволяет весьма есте­ ственным путем строить октавы, исходя из кватернионов. Мы назовем эту процедуру удвоением *) и определим октавы как «удвоенные» кватернионы. Впрочем, про­ цедура удвоения имеет отношение не только к о к т а в а м : мы увидим, что и сами кватернионы получаются удвое­ нием комплексных чисел и, в свою очередь, комплекс­ ные числа получаются удвоением действительных чисел.

1°. Другой подход к определению кватернионов. Нач ­ нем с некоторого анализа системы кватернионов. Про ­

извольный кватернион

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q — а + Ы +

cj +

dk

 

 

можно

представить,

 

пользуясь

тем,

что Ц =

k, в виде

или

 

 

 

q =

{a +

bi) +

{c +

di)j

 

 

 

 

 

q =

 

2, +

z2j,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Z\ =

а +

Ы,

z2

=

с +

di.

 

 

 

 

 

Посмотрим,

как

при таком

способе

изображения

ква ­

тернионов запишется их закон умножения .

 

 

Пусть

наряду

с

q з а д а н

еще один

кватернион

 

 

 

 

 

 

 

 

Г = Wi

+

w2j.

 

 

 

 

П е р е м н о ж и в

q

и

г,

 

получим

 

 

 

 

 

qr = (z,

+

z,/)

(га;, +

w2j)

=

 

 

 

 

 

 

 

=

zlwi

+

z,

 

(w2j)

+

(z2j)

и», +

(г,/) (w2j)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

= z,sy,

+

z{w2j

+

z2[wx +

z2jw2j

(1)

(мы убрали скобки в произведениях, так как умножение кватернионов обладает свойством ассоциативности). Заметим теперь, что поскольку ij = —//, то (a-\-bi)j —. = j(a— bi), т. е.

z} = jz.

*) Часто ее называют процедурой Кэли — Диксона, ,по именам математиков А. Кэли — автора системы октав — и Л. Диксона, впервые рассмотревшего эту процедуру.

37

К р о ме того, легко проверить,

что любые два элемента

z и w вида а + Ы перестановочны:

zw —

wz.

Исходя из этих свойств, можно переписать второе и третье слагаемые в правой части (1) соответственно в виде w2z\j и z2W\j, а вместо четвертого слагаемого на­ писать z2w2j2, или — w2z2. Следовательно,

 

 

 

ЦТ = {zxWx

— w2z2)

+

(w2Zi

 

+

z2w,)

j .

 

(2)

 

 

О б р а щ а я с ь

к

представлению

кватерниона

в

виде

<7 =

Z\ -\- z2j,

отметим

 

один

важный

 

момент.

Поскольку

i2 — — 1 ,

то

все

кватернионы

a -f- bi,

в

частности,

zx

и

z2, можно трактовать

как комплексные

числа. Вместе

с

формулой

(2)

это приводит нас к

такому

заключению.

 

Кватернионы

можно

определить

 

как

выражения

вида

Z\-T-Zij,

где

z u

z2

— произвольные

 

комплексные

 

числа,

a j — некоторый

символ,

причем

закон

умножения

таких

выражений

 

задается

формулой

(2).

 

 

 

 

 

 

 

Это — очень

существенное наблюдение. Оно поможет

нам

 

понять

процедуру

удвоения

 

гиперкомплексных

чисел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°. Удвоение

гиперкомплексной

 

системы.

Определе­

ние октав. Введем ряд определений. Пусть задана ги­

перкомплексная

система 41,

состоящая

из чисел

вида

 

и = а0 + axix

+ a2i2

+ . . . + anin

 

с некоторым

законом умножения.

 

 

Условимся называть

элемент

 

 

 

и = aQ — axix

— a2i2

— . . . — anin

 

сопряженным

к

и.

 

 

 

 

Удвоением

системы

%L называется

новая гиперком­

плексная система °L№ размерности вдвое большей

(чем

°U,), которая строится следующим образом. Ее элементы

представляют собой

в ы р а ж е н и я вида

 

 

 

" i

+ и2е,

 

(3)

где их, и2 — произвольные

элементы

из Я1,

а е — неко­

торый символ. Сложение элементов из

произво­

дится естественным

образом:

 

 

(и, + и2е) + (г», + v2e)

= (и, + vx)

+ («г +

v2) е, (4)

.38

Смотрите также файлы