ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 202
Скачиваний: 0
76 |
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. HI |
Т е о р е м а . Для регулярности стационарного про цесса необходимо и достаточно, чтобы спектральная плотность Д допускала факторизацию
/я = ф1 'Ф а- — о о < А < о о , |
(2.11) |
где при почти каждом А есть линейный оператор из гильбертова пространства R в М-мерное гильбертово пространство RM, а как функция от К, — оо < А < оо,
ФЛл' е L2(R) для всех х е К , |
причем |
|
ОО |
|
|
I" <г~ш флл: й% = 0 |
при t > 0. |
(2.12) |
— со |
|
|
(Ср. с факторизацией корреляционного оператора В, опе ратора умножения на Д, рассмотренной в § 2 гл. II.)
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Рассмотрим |
определенную |
||||||||
почти всюду функцию |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
их(s) = |
2 |
Cj (s) X/, —00 < |
s < ОО (Ux (s) = 0 при s > |
0), |
|||||||
где .v,, |
. . . , хл, — ортопормированный |
базис |
в |
RM, |
|||||||
а коэффициенты с, (s), . . . . |
см (s) |
те же, |
что и в пред |
||||||||
ставлении |
Вольда |
(2.9) |
|
для |
компоненты |
{&(/), х) |
|||||
{ |
|
|
оо |
м |
|
|
|
Л! |
|
|
|
^напомним , ЧТО |
J |
У ]| C, (s) fd s |
< |
оо, V | Cj(s) |2 < |
oo |
||||||
|
|
|
—oo |
/=1 |
|
|
|
/=1 |
|
|
|
при почти всех s и функция их (s) е |
L- (RM)j . При усло |
||||||||||
вии (2.8) |
из формулы (2.9) |
следует, что |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
E {s (0 , |
х) • {£ (Д), |
у } = |
[ |
{^x(s — ti),u y{s — i2)}ds. |
|||||||
Положим |
|
|
—оо |
|
|
|
|
|
|||
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
фх (А) — aL_ j |
easux (s)ds, |
|
— оо < А < |
оо. |
|
||||||
|
|
|
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко |
видеть, |
что |
соответствие |
элементов |
{£ (t), х |
||||||
§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВОЛЬДА 77
ИЗ Н {|) Иеш срх(Я), — оо < |
ж |
оо, из L2(RM) является |
||||||
и з о м е т р н ч е с к и м: |
|
|
|
|
||||
Е {!(/,), л-} • |
{to), |
у} = |
|
|
|
|
||
|
со |
|
|
|
оо |
|
|
|
= |
[ еа «'- ‘Щ хх, |
y}dX = |
J |
е1К«'- иЦцх{Х), щ (X)} dX |
||||
|
— ОО |
|
|
|
|
|
|
|
при всех /jj |
t2 и ху у <= R. Поэтому |
|
||||||
|
|
|
{/а*. у} = {фх (X), |
сру{Х)} |
||||
при почти всех X для любых |
х, |
у е |
R. Соответствие |
|||||
x->yx(X )<=L2(RM (такого |
же |
типа, |
как а —> /)/2х е |
|||||
е |
L2 (R)) |
является |
лине й и ы м, |
иначе говоря, (р есть |
||||
линейный |
оператор из гильбертова |
пространства R |
||||||
в функциональное пространство L2(RM). При этом |
||||||||
мы можем |
определить ср |
таким образом, чтобы на |
||||||
некотором всюду плотном в R подпространстве R каждое значение фх(А) было бы линейным оператором
|
|
|
фА (X) = |
ф; А, |
А е |
R, |
|
|
при почти всех X (например, можно взять надлежащие |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
фА/; (X), |
/г = |
I, |
2, |
. . . , и |
положить |
ф^х = |
21 с^фх* (А,) |
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
k~\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при а = |
2 |
ckXk, |
где А|, |
Хо, ... |
— базис в |
R ). Из ра- |
||
венства |
/:=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У} = {ф>А, ф^г/}, |
|
|
|
|||
|
|
{f>x, |
a , |
y<=R, |
|
|||
вытекает, что при почти всех X оператор ф^ в R является ограниченным и может быть однозначно
продолжен с подпространства R на все пространство R (напомним, что самосопряженный положительный опе ратор fK, определенный на всем пространстве R, является ограниченным при почти всех X). В итоге получаем
f а Фа ' Ф а’
78 РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. Ш
где ф^—'оператор |
из RM в R, |
сопряженный к срА; |
Фа, удовлетворяет условию (2.12), поскольку |
||
|
о |
|
Фа* = Т 7 = |
J еа *их (s) ds, |
их е= L2 (RM). |
—со
Всвою очередь, факторизация спектральной плот
ности влечет за собой справедливость условия регулярности (1.9)—(1.10). Действительно, взяв в функ циональном пространстве U = L2(RM) подпространство
U° £ Z-o {Rm), порожденное функциями
СО
|
“*(*)= ykr |
I е~Ш<&х d%, |
xe=R |
||
|
|
— со |
|
|
|
|
(их (/) = |
0 при |
t > |
0), |
|
будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
Е (ё (а), |
л-} {£ (b), г/} = |
J |
ei%{b~a) [fKx, у} йК = |
||
|
— со |
|
|
|
|
|
со |
|
|
со |
|
= |
J |
Ф , у ) ^ = |
J (7 > ,(/), Tbuu(t)}dl, |
||
— оо |
|
|
— со |
|
|
где — операторы сдвига в L2(RAI). Видно, что ото бражение (£(я), х)-^->-Таих есть изометрия пз #(£) в L2(RM), и поэтому семейство Ht{\), — оо < / < оо, изометрнчно семейству подпространств вида
Я, = V ДД°, — оо < I < оо.
S < /
Поскольку Ht^LTi (Rm) и f ) H t ^ f \ L 2 (RM)= 0, имеем
ft] ^ ) = 0'
Взаключение этого пункта введем аналити
ческие классы Н &, 6 = 1 , |
2, операторных функций |
1\, |
|||
— со < |
Я < |
оо, значения которых суть линейные |
опе |
||
раторы |
в |
гильбертовом |
пространстве (Г\: |
R '—> R"). |
|
Будем говорить, что функция 1\, — оо < Я < |
оо, при |
||||
§ 31 |
КРАТНОСТЬ |
79 |
надлежит классу Я 6, если для всех .t e i? ', / / е Г скалярное произведение {I\.v, у} как функция от X
принадлежит пространству L6 (на прямой) и
оо
|
|
J е~ш {I\.v, |
у} dX = |
0 |
при |
t < |
0 *). |
(2.13) |
||||
|
|
—00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, если |
операторная функция |
фА удовле |
|||||||||
творяет |
условию |
(2.12), |
то |
|
сопряженная |
функция |
||||||
= ф * |
принадлежит классу Я 2, поскольку для любых |
|||||||||||
х е |
У |
у £= R" (где R' = |
RM, |
R" = |
R) |
|
|
|
|
|||
|
|
(ФлЛ у} = |
{х, |
Ф |
( |
н |
а |
прямой) |
|
|
||
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о о |
|
|
|
С » |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
е~ш {фА.г, y }d X = |
j еш {ц>ху, x]dX = |
0 при |
t < 0. |
||||||||
— о о |
|
|
— ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, кстати, что если |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ft. = Фа • 'Ф!. |
— о о < Я < о о , |
|
|
|
||||||
где |
операторная |
функция |
|
фАе Я 2, |
то |
функция |
||||||
фА= фЛ будет удовлетворять условию |
(2.12). |
|
|
|||||||||
§ 3. Кратность регулярного стационарного процесса
Рассмотрим |
регулярный стационарный процесс |
|||
£(/), |
— со |
< t < |
оо, с компонентами {£(0. |
—° ° < |
< t < |
оо, |
где |
(R — «параметрическое» |
гиль |
бертово пространство). |
Пусть fA— спектральная плот |
|||||||||||
ность. |
Как |
мы |
знаем, |
|
тип |
семейства //,(£), — оо < |
||||||
< t < |
оо, |
и, |
в |
частности, кратность М обновляющего |
||||||||
*) |
По |
поводу |
определения |
|
классов |
Я 6 |
и их свойств |
|||||
см., например, |
книгу К. Г о ф м а и а, |
Банаховы пространства ана |
||||||||||
литических функций, |
М., ИЛ, 1963, |
и обзор |
В. И. К р ы л о в а , |
|||||||||
О функциях, |
регулярных |
в |
полуплоскости, |
Матем. сб. 4, 46 |
||||||||
(1938), |
9—30. |
См. |
также: И. |
И. П р и в а л о в , Граничные свой |
||||||||
ства аналитических функций, М,—Л., Гостехиздат, |
1950; Б. Сс ке - |
|||||||||||
ф а л ь в и - Н а д ь |
и |
Ч. |
Ф о я ш, |
Гармонический |
анализ опера |
|||||||
торов |
в гильбертовом |
пространстве, М., изд-во «Мир», 1970, |
||||||||||