Файл: Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов.pdf

80

'

РЕГУЛЯРНЫЕ

СТАЦИОНАРНЫЕ

ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. III

процесса

для | (t),

— о о < у < о о ,

целиком

опреде­

кратность М обновляющего процесса.

срл—•

Из условия

факторизации

= ср^ - ср^, где

операторная функция из гильбертова пространства R

в гильбертово пространство RM (см. формулу

(2.11),

вытекает,

что

М ^

dim f\R .

(3.1)

Действительно,

положив

фя =

ф’ , получим

=

(3.2)

поскольку

f\X =

0

тогда

и

только

тогда,

когда

[hx, х] — (qp^.v, cpvv} = 0 ,

и если R{ — подпространство

всех элементов

x ^ R , для

которых f\x = ф?.г =

0, то

Заметим, кстати, что из

условия

(3.2) вытекает

следующее

свойство

спектральной плотности Д:

dim ДД =

const.

(3.3)

подпространства

R' ^ RM, R" s

R

(выбрав в них

ортонормированные базисы х\, . . . ,

х'п н

х ", . . . , х")

и рассмотреть проекции элементов яДд:, х е

R' , на R",

то окажется, что соответствующее

подпространство

П

элементов вида 2

{ФГД, х"к\ хк ,

х' е R'

(обозначим

/(=1

литической

матрицы

с

компонентами (аДх), х "},

j — 1.........т \

k = i ,

. . . ,

п,

каждый из

миноров

которой как

функция от

Я,

— о о < Я < о о ,

принад­

классов Н6 при

надлежащем б >

0 н либо почти

всюду отличен

от 0, либо равен

0 тождественно *),

§ 31

КРАТНОСТЬ

81

dim 1foRM, dim i\\RM=

dim fKR.

Покажем, что

(3.4)

M < dim fKR.

l(t),

— со < ^ <

оо,

связано

с

семейством

проекто­

ров

Р,

на

подпространства

Я,(£),

— о о < ^ < о о .

Будем исходить из того, что

М равно

м и н и м а л ь-

ному

числу циклических подпространств,

замкнутая

линейная

оболочка

которых

совпадает

со

всем

про­

странством

Н (|) •—• см.

§

2

гл.

I — (напомним,

что

«циклическим»

по

отношению

к проекторам

Pt,

— оо <

t <

оо,

мы называем

подпространство в Я (£),

порождаемое

величинами

вида

Ptx,

— o o < t < o o ,

где х — некоторый элемент из

Я(£)).

Яу(|),

Рассмотрим

циклические

подпространства

j = 1.........М, порождаемые соответствующими

при­

ращениями Xj (I) — Xi(s),

— o o < s , / < o o ,

обновляю­

щего

процесса

в представлении

Вольда

(2.9)

(поро­

ждающим

элементом

является, например,

00

g / =

J c{s)dX j(s),

— со

где подынтегральная

функция

интегрируема в квад­

рате

и

отлична

от 0

почти

всюду). Выберем такую

функцию

c(s),

— оо < s <

оо,

чтобы

ее

сдвиги

c (s — t),

— оо <

s <

оо,

где

параметр

t

меняется

в пределах

— о о < ^ < о о ,

порождали

все

простран­

ство

L2

(на прямой). Ясно, что тогда величины

00

l j( t ) = J " c ( s — t)dXi{s),

— o o < t < o o ,

пространство Я =

V

e'ltf\!~R-, именно,

можно

— со < /

<

ео

взять функции f!/2.Vb

k =

1, . .

N, значения которых

образуют б а з и с

в

подпространстве f[l2R ^ R

(см. далее лемму на

стр. 87). Отсюда следует, что

М < dim fl!2R ( =

dim fkR).

Соединяя неравенства (3.1) и (3.4), получаем сле­

дующий результат.

условии

регулярности

крат­

Т е о р е м а .

При

ность М обновляющего

процесса равна размерности

подпространства

fKR ^

R:

М =

dim fl!2R

11. в.

(3.6)

гласно

которой стационарный

процесс

g (/),

— оо <

< t < оо, со спектральной плотностью fk,

—оо<Я <оо

(в гильбертовом пространстве R) является регуляр­

ным тогда п только тогда, когда существует

опера­

торная

функция фл, — оо <

Я < со,

класса

Я 2

такая,

что

h =

п - в -

( 4

Л )

пространство

RM.

Поскольку

всегда

dim R ^ М

(М = dim fkR п. в.),

то можно

считать,

что RM^ R ,

и доопределить

оператор

=

(ф1)” на всем простран­

стве R, положив ф\ (R 0

Rm) =

О-

Введем оператор

Vk,

положив

1/л

= Ф ^> * е R-

84

РЕГУЛЯРНЫЕ

СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. III

Из

равенства (4.1)

видно,

что

i n / r v f

-Vе R,

Поскольку

то для сопряженного

опера­

тора фл = (ф*)’ получаем,

что фку =

при y<=qp>,

и если__доопределить

оператор

Vx так,

чтобы

VK(R @ %R) = 0, то будем иметь

поскольку

ортогональное

дополнение

R Q ^ \R

к под­

^ =

(4-2)