ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 198
Скачиваний: 0
86 РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. HI
(При этом необходимым является существование опе раторной функции удовлетворяющей условиям (4.3) — (4.4), которая принадлежит не только классу Н \ но одновременно также и классу Н-.)
Мы уже убедились выше, что если стационарный процесс регулярен и, следовательно, его спектральная
плотность fK допускает |
факторизацию /х==ср^-ср* |
|
с помощью операторной |
функции срл |
класса Н2, то |
определенная формулой (4.2) функция |
принадлежит |
|
обоим классам Н \ Н2 и удовлетворяет всем условиям нашей теоремы. Таким образом, эти условия являются необходимыми. Докажем, что они являются доста точными.
Напомним, что регулярность имеет место тогда и только тогда, когда выполняется условие (1.9):
Я _ » = |
П [ V |
ea 7 ftf] = 0. |
|||
|
|
t |
Ls < |
t |
J |
Рассмотрим |
в пространстве |
|
|||
Н = |
V |
eth* f f R |
= L2(R) |
||
|
— со < |
5 < |
со |
|
|
ортогональное |
дополнение |
|
|
||
д= H Q I - I0
кподпространству Я 0— V etlsf^2R. Очевидно, все
подпространства е ш А |
(состоящие из функций |
вида |
|||
еш х(Х), — оо < |
X < оо, |
где ,v (X), |
— оо < |
X < оо, |
е Д ) |
ортогональны |
определенному |
выше |
подпростран |
||
ству Н-оо, поскольку еш Д ортогональны соответствую щим подпространствам
Н , = V e ^ f { nR = e ^ H 0. t
Ясно, что если
V ё^Д=Я, |
4(.5) |
—оо< t < 00
то Я_сс = 0.
§ -1] |
УСЛОВИЯ |
РЕГУЛЯРНОСТИ |
87 |
Определим |
пространство-функцию |
Л (Я,), — оо < |
|
< Я < ° о , для |
л ю б о г о |
подпространства A s L 2(R), |
|
выбрав в /1 полную систему функций {а,(А),а2(А), •••) = 5 и положив А (А) = Л3 (Я), где Л5 (А) есть замкнутая ли нейная оболочка в гильбертовом пространстве R всех значений аДА), а2(А), . .. Поскольку для любой функ ции а (А) е= Л найдется последовательность линейных комбинаций вида Ц а д (А ), сходящаяся в А2(Д)ка(А),
|
к |
то некоторая |
подпоследовательность 2 скак (А) схо- |
дится к а (А) |
к |
п. в., так что а (А )е Л 5 (А) при почти |
всех А, и поэтому для любой другой полной системы
S' = {а[ (A), а2 (А), . . . ) |
в А ^ L2(R) имеем |
|
||
As' (А) = |
As (А) п. в. |
|
||
В этом смысле |
рассматриваемая п. в. пространство- |
|||
функция Л (А), |
— оо < |
А < оо, определяется |
равен |
|
ством Л (А) = Л3 |
(А) о д н о з н а ч и о. |
|
||
Л е м м а. Подпространство |
|
|||
L = |
V |
~e™A<=L2{R) |
(4.6) |
|
|
— оо < |
t < |
СО |
|
состоит из всех функций х (А), — оо < А < оо, е В |
(R), |
|||
значения которых удовлетворяют условию |
|
|
||
г(А )еЛ (А ) п. в. |
|
(4.7) |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . По |
определению |
подпро |
||
странства L ^ L 2(R) |
всякая |
функция „г(A)g |
L |
есть |
предел функций вида |
У^еМкак {А), где а4(А )еЛ , и, |
|||
очевидно, значения ,v(A) удовлетворяют условию (4.7). Далее заметим, что для любой функции а ( А ) е Л
и скалярной измеримой |
функции с (А) |
| |
J|c(A)[2X |
||
|
|
|
|
' — со |
|
XII а (А) ||2 dX < ооj произведение х (А) = |
с (А) а (А) есть |
||||
функция из подпространства L, |
поскольку функция |
||||
с (А) может быть |
сколь угодно |
точно |
аппроксимиро |
||
вана в среднем |
(с весом |
g (А) = |
|| а (А) ||2) |
линейными |
|
88 РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. III
комбинациями |
вида |
S ctelUii |
и для некоторой после- |
|||
|
|
|
к |
|
|
|
довательности |
вида |
У^еЛ1,1ска(Х) в L2(R) |
имеем |
|||
|
|
|
к |
|
|
|
J |
х ( Х ) - ^ е Шкска(Х) dX = |
|
|
|
||
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
c(S) |
,скеш.. |
g (X) dX -> 0. |
|
|
|
|
— СО |
k |
|
|
Аналогично, для любых функций п, (X), . . . , |
аг(А )е А |
|||||
и векторной измеримой функции с(А) = [с, (X), |
..., сг(А)], |
|||||
удовлетворяющей условию |
с (A) g (X) с (A.)* dX < со |
|||||
(где g{X) — положительная матричная функция с ком понентами gpq (А) = [ар(A), aq{А)), р, q = 1, . . ., г),
Г
функция .V(А) = ^ ср(А) ар(А) принадлежит подпро- 1
странству L, поскольку векторная функция с (А) может быть сколь угодно точно аппроксимирована в среднем (с весом g (А)) линейными комбинациями вида
'EielKtkck (с векторными коэффициентами ск =
к
— \ck\, • • •> сАг)), и для некоторой последовательности
Г
функций 2 |
е Ш ,:2сьй р (А ) в |
к |
р=1 |
Р=1
= \ \ с ( Х ) - ^ е ш ьЧСк g{^)
L2{R) имеем
d l =
( А ) - У - з 1' 'Ск dX->0.
Возьмем |
теперь произвольную функцию х(Х) <= L2(R), |
||
удовлетворяющую условию |
(4.7), |
и полную систему |
|
функций я, (А), а2(Х), ... е ф |
значения которых поро |
||
ждают подпространство A {X )^ R |
при п. в. А. Проек |
||
ция (в |
гильбертовом пространстве R) величины |
||
§4] |
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ |
89 |
,v (А) е А (А) на подпространство, порожденное конеч
ным числом величин а, (А,), аг (А), имеет вид
Г
хг (А.) = 2 ср(А) ар(А.), где коэффициенты с, (А,), . . . , сг(А)
p = i
как функции от А являются измеримыми в силу того, что ДЛЯ любых функции А-(А,), у (А.) е L2 (R) скалярное произведение (а (А), у (А,)) является измеримой функ цией от А. Мы показали выше, что ar ( J ,) e L Но при каждом фиксированном А
|
|
|| а (А) — аг (А) ||2 —> 0 |
при |
г —> ОО, |
|
|||||
причем |
|| а (А) — хг(А) ||2 < || а (А) ||2, |
и |
следовательно, |
|||||||
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) II а (А) — аг (A) IP dk —> 0 |
при |
г —> оо, |
|
|||||
|
|
— ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
так |
что a (A)e |
L |
Лемма доказана. |
|
|
|
||||
Согласно |
этой |
лемме |
подпространство |
Н = |
||||||
= |
V |
eatfx2R s |
L2 (/?) состоит из |
всех тех |
функ- |
|||||
— со < t |
< оо |
|
значения |
которых |
удовлетворяют |
|||||
ций |
A (A )e L 2(i?), |
|||||||||
условию |
|
|
____ |
|
|
|
|
(4.8) |
||
|
|
|
|
x{k)<=f%2R п . в ., |
|
|
||||
и условие регулярности (4.5) можно выразить сле дующим образом:
|
Д (А) = f][2R п. в., |
(4.9) |
|
где Д (А), |
— оо < А < оо, |
обозначает |
пространство- |
функцию, |
порождаемую |
подпространством Д = |
|
= Я 0 Я ОЕ 1 2№ Предположим теперь, что существует некоторая
операторная |
функция ф^ класса |
Я 1: |
|
|||
|
|
со |
|
|
|
|
|
J |
е~ш {о|да, y}dk = 0 |
при t < О |
|||
|
— со |
|
|
|
|
|
для |
всех |
а, |
у <= R, |
удовлетворяющая |
требованиям |
|
(4.3), |
(4.4). |
Очевидно, |
функция а (А) = ^ |
>12т\\х е L2{R) |
||
удовлетворяет условию (4.8) и, следовательно, при надлежит подпространству Н = V ea ‘f'fcR. Кроме
— оо < / < 00