ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 197
Скачиваний: 0
9П РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. III
ТОГО,
СО |
|
со |
J |
е~ш (a-(A,), f'l’ tj} dX = |
[ е~ш {i^ a, у] с?А=0 при t < 0 , |
— со |
|
— со |
т. |
е. функция а (А), |
— оо < А < оо, ортогональна |
подпространству Н0— V eatf'J2R', иначе говоря, функ- |
|||
|
t <0 |
|
|
ция а (А) = /я"1/2 |
— со < |
А < оо, |
принадлежит под |
пространству A — H Q H 0. Поэтому |
|
||
|
= Д(А) Е J f R |
п. в., |
|
и в силу соотношений (4.3) получаем, что |
|||
|
Ш = № |
п . в ., |
|
откуда следует условие регулярности (4.5). |
|||
Теорема полностью доказана. |
|
||
2. Некоторые |
выводы |
и примеры. Остановимся |
|
подробнее на предложенных выше условиях регуляр ности (4.3)—(4.4).
Рассмотрим |
конечномерный |
случай, dim R = N. |
|||||||
Будем |
считать, |
что в унитарном пространстве R |
|||||||
выбран |
некоторый ортонормнрованный |
базис |
хи ... |
||||||
. . . , |
a;V и |
спектральная плотность fK задана соответ |
|||||||
ствующей |
матрицей |
/(А) = {fkj (А)} |
с |
компонентами |
|||||
/а/ М = |
{/***. */}, |
к, |
/ '= 1, . . . . |
N- |
|
|
|
||
В |
одномерном случае, d i m / ? = l , |
условия |
(4.3) и |
||||||
(4.4), |
очевидно, |
означают, что |
с к а л я р н а я |
спек |
|||||
тральная |
плотность /(А) должна быть |
отлична от 0 |
|||||||
почти всюду и для некоторой скалярной функции ф(А) класса Я' • оо
/I Ф(А) |2/(А)-1 dX < оо.
—СО
Отсюда |
следует, что |
|
|
оо |
|
|
|
j" log [ |
Iт|> (А) |2 [ (A)-1] ^ |
_ |
|
|
СО |
|
ОО |
|
log I Ф (А) |2 |
_ |
|
|
1 + |
A2 |
ClK |
—00
§ 41 |
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ |
9L |
|
|
и поскольку для функции ф(А) класса Я 1
СО
I log IФ W I2 1 |
|
1+ V |
-dk < |
|
|
мы приходим к хорошо известному условию Колмо горова — Крейна *):
|
г ^ |
л>—. |
|
(4.10) |
|
В случае произвольного конечномерного процесса |
|||||
с о б р а т и м о й |
п. в. |
спектральной |
плотностью /( X) |
||
условия (4.3)—(4.4) означают, очевидно, |
что |
суще |
|||
ствует н е в ы р о ж д е н н а я N X, N матричная |
функ |
||||
ция ф (к) — |
(А,)} с |
компонентами |
из |
класса Я 1, |
|
для которой |
|
|
|
|
|
оо
f S p h ( k ) r ' ( b ) ' H W ] d k < c o .
Отсюда |
следует, что |
|
|
|
|
log del [i]; ( к ) |
/ (Я) i|) |
(Я)’ ] |
__ |
|
|
|
1+ |
Я2 |
|
а |
|
|
СО |
|
|
W |
|
= |
[ l0g 1,с1^ |
, |
d k - [ |
ОО, |
|
|
—оо |
|
|
—оо |
|
и поскольку для матричной функции ф(Я) класса Я 1
J |logl1d^y) dk < оо,
*) В цитируемой ранее работе Колмогорова (см. сноску на стр. 71) получено условие регулярности для одномерных ста ционарных процессов с дискретным временем; на случай непре рывного времени оно было обобщено Крейном (М. Г. Кр е й н , Об одной экстраполяционной проблеме А. Н. Колмогорова,
ДАН СССР 46 (1944), 306-309).
92 РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. Ill
мы приходим к хорошо известному условию регу лярности *)
log det / (Я) |
— оо. |
|
|
J 'l + Я2 d X > |
(4.11) |
||
|
Отметим, что это условие равносильно следующему:
|
Н/гТ1 |
> |
— оо, |
|
|
|
1 + Я2 |
|
|
|
|
поскольку |
|
|
|
|
|
log det f (X) = |
N |
I o g |^ '| |
=logw ,(A ,), |
||
Д] log mk(Я), |
|||||
где nil (X) ^ |
••• ^ m iV{X) — собственные |
значения |
|||
спектральной |
плотности Д. |
|
|
|
|
Для регулярного стационарного процесса ранг |
|||||
спектральной |
плотности f{X) |
п. в. |
равен |
постоян |
|
ному М (см. теорему § 3). Следовательно, хотя бы один из ее главных миноров порядка М отличен от О на множестве положительной меры. Пусть это будет
определитель |
М X М-матрнчной |
функции |
fM(X) = |
|||||
= ( /v ,W ) |
с |
элементами |
fkpkq (X) = [fKxkp, |
р, |
||||
q = 1, |
. . . , М. |
Обозначим |
RM подпространство в R, |
|||||
порожденное |
|
элементами |
xk , |
р = |
1........./VI. |
Оче |
||
видно, |
/л[ (X) |
является (матричной) спектральной плот |
||||||
ностью |
М-мерного |
р е г у л я р н о г о |
процесса |
с ком |
||||
понентами |
{I (t), |
х}, х е |
RM, |
и, |
следовательно, |
|||
det fM(X) ф 0 не только на множестве положительной меры, но и почти всюду. Как мы только что отме чали, в случае обратимой спектральной плотности f/и М
*) |
Для случая дискретного времени это условие было пред |
||||
ложено в заметке В. Н. |
3 а с у х и н а, К теории многомерных |
||||
стационарных процессов, |
ДАН СССР 33 |
(1941), |
435—437. Слу |
||
чай непрерывного времени |
рассмотрен в |
работе |
Е. |
Г. Г л а д ы- |
|
ш е в а, |
О многомерных |
стационарных |
случайных |
процессах, |
|
Теория |
вероят. и ее примен. III, 4 (1958), |
458—462. |
|
||
§ 4] УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ 93
ее наименьшее собственное значение т (Я) удовлет воряет условию
log т (Я) dX > — оо.
1 + Я2
При этом, очевидно,
мм
т (Я) = |
inf |
2 |
|
2 |
h nk„ м |
°р |
|
|
|
|
|||
|
|
М |
|
q=l |
Р=\ |
р * |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
= |
inf |
II/ус II- |
||
|
< |
м |
inf |
2 |
2 |
fjkp М ср |
|||||||
|
|
|
/=1 |
p= i |
|
|
л: s= |
RM, ||.i||= |
I |
||||
|
|
^ 1"р 13= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим |
теперь подпространство |
fxR = |
R Q Rx, |
||||||||||
где |
Rl — нулевое |
подпространство для |
положитель |
||||||||||
ного |
оператора |
/у |
Поскольку |
dim fxRM= dim fxR, |
|||||||||
имеем |
fxRM= |
hR |
п. |
в., |
откуда |
следует, что |
проек |
||||||
ция хх любого элемента л: е |
RM, х ф 0 |
на |
подпро |
||||||||||
странство fxR отлична от 0 п. в. |
Кроме |
того, fxx = |
|||||||||||
— fxxx |
для |
x ^ R , |
и подпространство всех элемен |
||||||||||
тов хх, |
х е |
R, совпадает |
с fxR. Очевидно, |
|
|||||||||
inf |
II/у I K |
|
|
inf |
II/У 1= |
|
|
|
|||||
* S V |
i*'“ i |
|
|
JCSV I I JtJ I “ ‘ |
|
|
|
I-1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
inf |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
xt=fxR, M = 1 |
|
|
|
||
где, напомним, fK1 есть обратный оператор к поло жительному оператору fx в унитарном простран
стве f^R. Таким |
образом, |
|
т ( Я ) J fx l|| |
п. в., и |
следовательно, в регулярном |
случае |
|
||
J |
1 + Я2 |
dX > — оо. |
(4.12) |
|
|
|
|
||
— ОО
Как мы знаем, кроме этого условия для регуляр ности необходимо, чтобы существовала операторная
94 РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. ПГ
функция |
класса Н2, |
обладающая |
следующим |
||
свойством: |
|
|
|
|
|
Ф |
f ; l l \ R = W |
* |
П. В. |
||
Очевидно, |
в к о н е ч н о м е р н о м |
случае, |
dim R < оо, |
||
это равносильно условию |
|
|
|
|
|
|
= |
п. |
в. |
|
(4.13) |
Из предложенного нами общего критерия регу |
|||||
лярности легко вытекает, что |
|
|
|
||
совокупность условий |
(4.12)— (4.13) |
не |
только не |
||
обходима, |
но и достаточна для регулярности конеч |
||||
номерного стационарного |
процесса *). |
|
|
||
Действительно, как известно, при условии (4.12) интегрируемая скалярная функция jf^'ll '(Ц/Т'!
< Ш | ) допускает факторизацию Цд-11| == | Q(А-) р с помощью некоторой скалярной функции класса Н2 (см. сноску на стр. 79), и если взять функцию ф (Я) = 0 (Я) ф (А), принадлежащую классу Я 1, то ока жется, что она удовлетворяет всем условиям (4.3)—
— (4.4), поскольку
I/х'Ч*I^ I |
|
1/21'I9 МI' || Ф;ДI < I Ф;Д'||> * е= R. |
||||||||
Стоит отметить, что условие (4.12) равносильно |
||||||||||
следующему: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
log det fM (А) |
dk > — оо |
|
(4.127) |
|||||
|
1 |
+ А2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для некоторого главного минора det fM(к) |
порядка М |
|||||||||
матричной спектральной |
плотности f(k) |
(ранга |
М), |
|||||||
*) В случае дискретного времени аналогичные |
условия |
|||||||||
были предложены Хелсоном и |
Лоуденслегером |
(Н. Н е 1s о п, |
||||||||
D. L о u d е n-slager, Vector-valued |
processes, |
Proc. Fourth |
Ber |
|||||||
keley Symposium |
Math. |
Statist. |
Probability, |
Berkeley, |
1961). |
|||||
Условия |
несколько |
|
другого типа были ранее найдены |
Матвее |
||||||
вым (Р. |
Ф. М а т в е е в, |
О регулярности многомерных |
стацио |
|||||||
нарных процессов, |
ДАН |
СССР |
126 (1959)). |
|
|
|
|
|||