ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 177
Скачиваний: 0
§ 4] УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ 95
Вместе с условием (4.13) это позволяет, например, легко получить следующий важный результат: вся кий стационарный процесс, имеющий спектральную
плотность f (к) = |
{/'/.; (А)} с рациональными элемента |
||||||
ми fmW, |
/г, |
/ = |
1.........N, является регулярным. |
||||
Остановимся теперь на некоторых особенностях |
|||||||
бесконечномерного |
случая, |
с1пп/? = оо. |
|
||||
Вообще говоря, условие (4.12) уже |
не будет не |
||||||
обходимым *)• |
Например, |
если взять |
стационарный |
||||
процесс со |
спектральной |
плотностью |
вида fx^k — |
||||
= М Ч * ь |
/г = |
l , |
2, . . . , где хи х2, . .. |
— ортоиорми- |
|||
рованный базис в R и скалярные спектральные |
|||||||
плотности |
fk (к), |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
Г |
log ffe (Я.) |
dk > |
|
|
|
|
|
J |
1+я* |
|
|
монотонно убывают таким образом, что
lim ^ g - d k - .
|
|
& - > о о |
1 “Г |
л |
то окажется, что, |
хотя |
процесс регулярен, условие |
||
(4.12) |
будет |
нарушено. |
|
|
В |
то же |
время |
условие (4.12) в случае обрати |
|
мой спектральной плотности fKявляется достаточным для регулярности**).
*) |
Некоторый класс спектральных плотностей fx (обладаю |
||||||||||
щих «скалярным кратным»), |
для |
|
которых условие типа (4.12) |
||||||||
является |
необходимым условием |
регулярности, |
указан в книге |
||||||||
Б. С е к е ф а л ь в и - Н а д я |
и |
Ч. |
Ф о я ш а, |
Гармоническнн |
|||||||
анализ операторов в гильбертовом пространстве, 1970. |
|||||||||||
**) |
В |
случае дискретного |
времени это фактически было до |
||||||||
казано |
в |
работе Ю. А. |
Р о з а н о в а , |
Спектральная теория |
|||||||
многомерных |
стационарных случайных процессов |
с дискретным |
|||||||||
временем, Успехи матем. наук |
XIII, 2 (80). (1958), |
93 — 142; см. |
|||||||||
также: |
A. |
D е v i n a t z. |
The |
factorization of operator-valued |
|||||||
functions, Ann. of Math. 73 (1961), |
458 — 495. |
|
|
||||||||
В |
связи |
с |
условием |
(4.12) следует упомянуть интересный |
|||||||
пример Лакса, |
в |
котором |
(при |
обобщении |
его на случай пепре- |
||||||
9 6 |
РЕГУЛЯРНЫЕ |
СТАЦИОНАРНЫЕ |
ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. III |
|||||
В самом деле, пусть |
равномерно интегрируема: |
||||||||
|
|
|
II f |
( X) |
| | ^ < |
|
|
|
|
и при почти всех А существует |
о г р а и и ч е н н ы й |
||||||||
обратный оператор |
|
в |
R (R = |
fiR), |
удовлетворя |
||||
ющий условию |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Г loS||fя.11| |
d X > — оо. |
|
|
||||
|
|
J |
1 + |
А2 |
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
6(A) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 - /А ’ |
|
|
|
||
где 0(A) — скалярная |
функция |
класса |
Я 2, фактори |
||||||
зующая |
интегрируемую функцию |
|
|
^ |
|||||
<!||^||), |
а I — единичный |
оператор в R. Очевидно, |
|||||||
операторная |
функция |
|
класса Н 1(]Н2 будет отве |
||||||
чать требованиям (4.3) — (4.4), |
и следовательно, ста |
||||||||
ционарный процесс со спектральной плотностью |
|||||||||
будет регулярным. |
спектральная |
плотность |
fK при |
||||||
В случае, |
когда |
||||||||
почти всех А является обратимой на замкнутом под пространстве fKR (fKR c R ) , регулярность будет иметь место, если кроме условия (4.12) потребовать еще,
чтобы пространство-функция fKR, — оо < А < |
оо, бы |
|
ла «аналитической» в том смысле, что |
|
|
hR = 4\R п. в. |
(4.14) |
|
рывного времени) |
|
|
ОО |
|
|
log h |
d%> —cl, |
|
1 + А2 |
|
|
где с — некоторая постоянная, а / — единичный оператор в гильбертовом пространстве R, и тем не менее, соответствующий стационарный процесс не является регулярным (Р. L a x , On the Regularity of Spectral Densities, Теория вероят. и ее при мет VIII, 3 (1963)).
§ fl |
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ |
97 |
(ср.с |
(4.13)) для некоторой операторной |
функции |
из класса Н~.
Действительно, в качестве функции фъ удовлет воряющей условиям регулярности (4.3)— (4.4), можно
взять
Фх = 6 (Я) • ср(Я),
где скалярная функция 0(Я) класса Н2, как и прежде,
факторизует функцию |/^ ‘ || |
(напомним, |
что Д "'— |
|
о г р а н и ч е н н ы й |
обратный |
оператор к Д на замк |
|
нутом подпространстве ДД = |
fk2R, так что fk'% kR = |
||
= f\2R> если ф* я = |
И - |
|
|
В заключение выведем из наших условий регуляр |
|||
ности (4.3) — (4.4) одну теорему сравнения. |
|
||
Для краткости |
назовем |
спектральную |
плотность |
регулярной, если регулярным является соответствую
щий стационарный |
процесс. |
|
плотности Д и |
|||
Предположим, |
что |
спектральные |
||||
gk при почти всех Я |
имеют в гильбертовом прост |
|||||
ранстве R |
одни и |
те |
же |
«нули» и, |
более того, для |
|
элементов |
хпе R |
|
|
|
|
|
|
hxn-> 0 ~ |
gkxn -> 0. |
(4.15) |
|||
Если Д регулярна, а |
|
|
|
|
||
|
|
g k > h |
п. в., |
(4.16) |
||
то спектральная плотность gk также регулярна. |
||||||
Действительно, |
при условии |
(4.15) |
||||
причем |
|
|
|
( = |
* o . |
|
|
g ' f - c j H 2, |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
где Ск — о б р а т и м ы й оператор в |
подпространстве |
|||||
Rk (непосредственно из соотношения (4.15) вытекает,
что определенные |
равенствами |
Ckfk2x — g kl x и |
/I/2-v> х е |
операторы |
Ск и С^1 являются |
4 Ю. А, Розанов
98 РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. Ill
н е п р е р ы в н ы м и |
в |
Rx). Поэтому |
g'^2 = |
и |
|||||
/1/2= |
^ /2(с 1) |
'> откуда получаем, |
чтоg f R = g f R %= |
||||||
= f \ c \R ^ fT ~ R ’ |
и, |
аналогично, |
f'f-R^ g'f-R, т. е. |
||||||
|
|
|
f f R ^ g f R |
и. в. |
|
|
|||
Для |
регулярной |
спектральной |
плотности fK сущест |
||||||
вует |
операторная |
функция |
класса |
Я 'П Я 2, удо |
|||||
влетворяющая условиям (4.3) — (4.4). |
Учитывая, |
что |
|||||||
g ^ l/2 = |
/д1/2, |
где |
С *— обратимый |
оператор |
(со |
||||
пряженный к (Д), приходим к заключению, что усло вие (4.3) выполняется и в отношении спектральной
плотности g(^): |
|
|
|
( = № |
) , |
|
|
g ^ H hR = (Cl)-' f ^ |
R |
= |
~g)PR. |
Кроме того, поскольку gK~^\v |
имеем |
п' в>> |
|
и следовательно, в отношении g{%) выполняется также условие (4.4)
СО с о
|
J |
I ||/г,/2М И < о о |
|
— оо |
— со |
при |
всех |
Таким образом, спектральная плот |
ность g(X) является регулярной. |
||
В |
частности, |
для конечномерного случая отсюда |
вытекает, что если невырожденная спектральная плот
ность Д |
является регулярной, то регулярной |
будет |
и всякая |
спектральная плотность glt g к ^ /г |
Для |
бесконечномерного случая без ограничений типа (4.15) это, вообще говоря, уже неверно. (Именно, для всякой функции х {Х )^ Н °, х { к ) Ф 0 , где Н° есть замыкание в L2(R) подпространства всех функций g\[2x, — оо <
< %< оо, .у е ^ , в случае регулярности gK одномер ный «стационарный процесс» {еш , .v (Я,)} также регу-
