Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf

значных

сопряженных функций &(х) + £іг(х)

и гс(х)- iW{x)

Есяа в

совокупности функций (10) любую дару комплексно сопря­

женных

функций заменить их вещественной и мнимой частями и~ Ск)

линейно

неаависимой

на

С ^ ^) «

Не ограничивая общности, будем считать, что yt (х)-и(х)+Сіг(х\

fr(x)z

иЛх)-ІІг(х)

, и рассмотрим

на

(<*•>•£)

тождество

'

С, Ufa t

0 irfr)*

С3р(Х) і •

- і

Си fa Сл) = О.

(„j

Так как

то (11)

можно еапясать в

виде '

или

сЛ&у,(*и

с^^Ы)+С^1*у-

^ п у М ~

о,

(щ

В силу

линейной

независимости функций

fyC*),

УАС")> •• • У*

(*\

из (|2 )

следует,

что

отсюда

<?, - сл

= СІ = • •- = С

-

о.

Итак,

тождество

( I I ) возможно

лишь

если

"С, = Сг'=

- сч - °>

что и докаеывает линейную независимость

на

f 4

)

функций

Ш*),

УС*) І уз

(*h • •• > h (у)

* 8

" * с а м

ь и

" л е м м

У

в , •

Вернемся

к рассмотрению

линейного

однородного

уравнения

-

73 -

оответствующего

ему характеристического

ураннения

редположим,

что все :иррни

£<, Kir;.

К, и

уравнения

(2)

етые. Если среди них есть

комплексный корень \-cL

+ J-3

»

в силу вещественности коэффициентов

уравнения

( 2 ) ,

число

' О ^ -

i-jb

» сопряженное

с

Л

,

также является

простым

кем

уравнения

( 2 ) ,

Поэтому

если

среди функций

, С ' *

fc„5C

(ІЗ )

і

с

,

.

,

г

Є

•

ставляющих фундаментальную

с и с т е м

решений уравнения

( 1 ^

цет комплехснозначная

функция

£^*^£^%<?е*>рх.^£4\*рх-.

в совокупности

(13)

необходимо

содержится и комплексно

пряженная

с

нею функция

g>oi

>* -

гласыо лемме 5, функции Є

с&ъ^эе.

» f ^ ^ J i X .

будут

»ае решениями

уравнения(I) .

+сР>)^

; їй в (13) пару комплексно

сопряженный

функций^ ^

6

'

p^-ip)x.

заменить их вещественной

и мнимой

частями

(1x1

„

< Х .

*иъЯХ-

и£

-ііиЛк^

і т о ,

согласно

лемме б , мы полу-

і: снова фундаментальную систему решений уравнения ( I ) .

«им

образом,

мы доказали,

что и в случае комплексных кор ­

яв .-•.характеристического уравнения

всегда

можно

построить

ференциального

уравнения ( I ) , состоящую

из

вещественных

{ункций, а тогда и ббщее решение уравнения

( I )

будет вещест-

енной функцией.

ример.

- О

/

Ьрактеристическое

уравнение,в

этом

случае

имеет вид

k t / ' O

или [k-tilk

-О

\

!го корни суть

числа /с, -. ^ ka

*i

^

j

Хг~

~ &

Следовательно,

функции

^

д

ных

корней

характеристического уравнения.

Лемма. 7,

Каково бы ни было

число

/с

(вещественное или

комплексное),

для всякого целого

числа / 7 7

и любого зна

чения вещественной переменной

У

имеет

место

следующее

тождество:

,

о, . *х

ьСу

€

J z

/ ( к Н - Y У /

с Э к

( І )

~~тчГ~ Р

<>->С> К.

*

' / к /

+

1

' f f

. ;

О /

*»

її-/

• ие"',

ри>

(2)

с

а

/

значение

- той производной

многочлена

в

точке

Д

= к.

В случае

комплексного

значения

А-

все производные

в

формуле

( I ) надо понимать

в

смисле

іорйи

.функций комплекс­

ной переменной.

Так как читатели

с последней

не знакомы, то

при доказательстве

этой леммы мы ограничимся

случаем

вещест­

венного

значения,

/ о

. Отметим,

что для комплексного

/с-

доказательство

проводится

аналогично.

При

Ґ>І -О

формула

( I )

совпадает

с установленной нами

в

пункте

2 данного

параграфа

формулой

(3)

вида ^{~€кУ-/:їк.'}Є

"Пусть

теперь /-л 9 / .

На основании формулы (5) п . 1

этого параграфа

-

'СУ )

ОС

р

(У /С

Пользуясь

тем, что значение

смешанной

производной не

зависит

от

порядка

дифференцирования, получаем, что

Предположим,

что решив

уравнение

( 5 ) , мы нашли,

что

число

)С ,

» является

его корнем

кратности

£f

•/

, число /с-2. -

-

корнем кратности

Zг~?/А

и т . д . и,

наконец,

число

к:^

—

корнем кратности 1^-?, j

;

причем

Ъ,

+ Z. г*.

. . t-Zn, -

Тогда

для уравнения

(Ч)

мы получаем

решений

вида

Чтобы

убедиться

в том, что функции (7) составляют

фундамен­

тальную

систему решений

уравнения ( 4 ) ,

докажем

следующее

предлоаение*

Лемма 8. Если все числа

/<т.,...

к

у^..

(веществен­

ные или комплексные) различны,

то для любых натуральных

чисел

г

•/, її.

- Ъ т

функции

линейно независимы на всей вещественной оск

Доказательство. Допустим, что на некотором промежутка

функции (8) линейно зависимы. Тогда найдутся

постоян­

ные #UIJt

(«•/• • • >Х<си>

1 1

'

~ ' \

из

которых

хотя бы одно отлично от нуля,

такие что на (Q,

£}

оудеч

выполняться

тождество