Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.08.2024

Просмотров: 258

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Подотавляя в тождество (2) вместо и </~"%jf~ •* , н в " чения ив (8) и (4) видам, что функция (8) есть решение лиией-

ного уравнения первого порядка вида

 

 

«j| + (-»+i)J$e)g =(-»«)<?(*>.

(г)

Наоборот, если

г = «vV;

- некоторое ревение

линейного урав­

нения ( 5 ) , то функция

 

 

будет решением уравнения

( I ) . Действительно,

йз (в)

и, подставляя

ахи

значения X

и

в ( 5 ) , после сокраще­

 

ния на множитель

 

(~Я+І)=РО

видим,

что

функция

(б) ес*ь

 

 

ревение

уравнения

(1),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, для решения уравнения

( | )

надо

решить

 

 

линейное уравнение 1-го порядка ( 5 ) . Его

Общее решение вв.

 

 

основании

формулы

(5)

§4

имеет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(І-М)(Р(Х)СІУ

.-

 

/

 

{-**/)/Яг/**

7

 

 

• У - Є

 

 

 

[С

 

J<?«J

Q

J

 

c/tj

 

 

Поэтому~совокупиостью всех решений уравнения ( I ) , • силу фврьуям (5)>

 

будут все

вещественные ветви многозначной

функция

 

 

 

 

 

 

-J-

Г

fi-*)fft*№,

 

 

f

(-**іірЬіо'г

 

1 ? / - ^

J

 

tj-_f-*^l_ef

 

J

' (с+с-^фъе

 

 

 

 

*)J

-

 

Пример,

 

^

t

&- y^-fa-n)^\

 

 

Умножв* ни

 

, иохучиш

 

Полагая .£-#~'л

 

-ft

- -

$

,

Л**

 

получаем

жииеінее

 

уравнение

1-го

порядка вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

 

___аІУ

 

-xti

 

 

 

 

^

 

: -

— j~ -

—

 

I ) При *>0 к этому множеству решений доб*ИЯ»тся » • « « • • :

Зто уравнение было рассмотрено нами

в

примере

§4 и его

реше-

няе

было

получено

в

виде ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так

как

? = у - ' ,

tj

= f-'-

 

^ -

,

то

совокупность всех

реиений

веданного

уравнения

записывается

в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

и-

 

=.

I

 

 

 

 

 

ч*.о.

 

 

 

 

 

 

 

 

'—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

(*+t)*(C+e«lr-nl)

' *

 

 

 

 

 

Замечание.

 

Сравнение

Бернулла

можно

интегрировать

непос­

редственно,

разыскивая его решение

в

виде

jf-b-V',

совернен-

зо аналогично тому,

как

ато делалось

в

случае

линейного

урав ­

нения 1-го

порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і б і

Уравнения в

полных дифференциалах.

Интегрирующий

 

 

 

 

 

 

множитель.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P&.flJt

* Q(*ty)J>f = О ,

 

 

 

 

О)

где

Pfay)

 

и <?6оу)

веданы а непрерывны в некоторой

области 5 8 ,

навивается уравнением в полных дифференциалах, если левая

часть его есть полный дифференциал

некоторой функции

 

^х,у)

в области

 

^>

. Последнее

овначавт, что существует

такая

функция

U(y,j/)

t

веданная

в

55

, для которой

ft**

9)

I s анвзива

иввестно,

что есхв

>(*>¥) ,

Q(*>1) ,

-тщ

*

 

у?

непрерывны

в области

"<5

,

то для того

чтобы

выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

было

полный дифференциалом,

необхо-

дамо і достаточно чтобы в области

*55

 

тождественно

выполня­

лось

равенство

 

 

„

л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда сраву следует

 

Teopeua

! ,

Если

 

,

 

,

'Щ- и

^

непрерывны

в области *g)

,

то

уравнение

( I )

будет

там уравнением в пол­

ных дифференциалах тогда

и только

тогда,

когда

тождественно

в

15

выполняется

р а в е н с т в о . ( 2 ) .

 

 

 

 

 

 

Докажем

теперь

следующее

предложение:

 

 

 

Теорема 2 . Совокупнпсть всех решений уравнения в полных

дифференциалах ( I ) представляет собой семейство всех дкфферен-

цируеыых

функций

у(х) и. х ( у ) ,

определяемых

соотношением ,

где

It-fay)

- функция,

для которой

о(U = Fb^ct*

+

аС - произвольная постоянная.

 

Действительно, пусть ( 1 ) есть уравнение в полных диффе­

ренциалах и

Idfay)

-

функция, для которой

оІи=ІСУ,у)ьІиф.г>у)аІ£

Тогда

уравнение

( I )

можно

записать в" виде

 

 

 

 

 

 

 

d4*>y)=o.

 

 

 

(о

Если

У= 0#*!/

-

некоторое

решение

уравнения

( I ) , то ив

тож­

дества

 

 

/ * ,

*

і

 

 

 

 

следует, что

 

 

 

 

- С;

 

 

 

 

 

 

 

Ufa

 

 

 

 

 

т . е . функция

 

 

удовлетворяет

соотношению

(2) при некото­

ром еначении

 

С - & .

 

 

 

 

 

 

 

Наоборот,

 

если

дифференцируемая функция

j/-ft*J

удов­

летворяет соотношению (3)

при накотором

С - С* \

 

го

I ФУНКЦИЯ . Jf - ум является решением уравнения (1) .

Для функций вида х = х(у) рассуждения аналогичны.

таким обрааом, для нахождения всех

решений

уравнения

в полных дифференциалах ( 1 ) надо найти

функцию

1ь(*>у) f

 

 

 

 

-28-

 

 

 

для которой

 

с/и

= І°С*,У)сІ* + Q(*,y)dy

 

Но яв аналива

иввестно,

что любая

хавая

функция

 

представаиа

в

виде

х

у

 

 

 

 

 

у»

 

/.

 

 

 

где точка

(Х',9>)

- проиввольная

точка

области S)

, а

£- проиввольная постоянная.

 

На практике лучше не вапоминать формулу ( 4 ) , а «екать

функцию

 

и~(х,у)

следующий

обрааом.

 

 

 

 

 

Вовьмеи

некоторую точку

 

 

е 2)

. т а к к а к

 

Р{*>ё03

то,

интегрируя

вто равенство по

х

, найдем,

что

 

 

 

 

 

 

 

/ *

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда,

так как

Щ- <р(*,у) ,

получим

 

 

 

Можно докавать,

что если

Р(^>%)

-

функция,

непрерывная

по

t

 

в

сегменте J. *

h -

х-

( ц л а

х

* f

* Л

)

 

(а.'Э*<»

следует

ив непрерывности

Р(х>?)

в

области

*Ь

) , то

Во в силу

 

'

%J*p(*'')lbe*J.****

 

.

Тогда ив (б)

и

{?J'

(2)

!~ь£- ^£

 

(7) мы

получаем,

что

»

 

 

х

 

 

 

 

 

Отсюда

Смотрите также файлы