Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf

ство и любое мнонество вида \ ^ 6

• ^

< с \

есть Счет­

ное объединение

одномерных промежутков.

1.5

3 а м е ч а н ие. Предположим,

что мера Лебега -

Стилыьеса fx

задана на основном

оѵ-мерном промежутке

. Пусть fx*

- мера Лебега - Стилыье­

са, являющаяся продолжением меры ул.

из До

нулем в

R п N

Д 0

/ см.замечание 11.5/. Тогда для того чтобы функ­

ция

была

/А. -измеримой, необходимо и достаточно чтобы

эта функция была

измеримой.

Это замечание

позволяет нам, при рассмотрении вопросов,

связанных

с

fx -

измеримыми функциями,

ограничиться случаем

меры

JA.

, заданной на всем пространстве Ій"

, не ограничи­

ваяпри этом общности.

JieSJ^jWBj^jro^^

JA она >«.-

измерима.

.Действительно,

если

непрерывна,

то множество ^хбй'*':

Ç(.iO<t-^

открыто в (Pf1

, как прообраз открытого в К/

мно­

Ç W 6

t

1

;

жества

''•

< С.^

. Следовательномножество ^xelR"

•\Ш < С j

является

и - измеримым*

2. Замкнутости множества измеримых функций относительно

поточечного ^

предельного перехода. Пусть

р. - мера Лебега -

Стилыьеса,

а Д)

- некоторое

измеримое множество

в ОТ

2.1

î е о р е м а. Лу_сть ^ ч і и ^

~„5°$J£№Sè~

т^льность

^л-дзмдр_№ых^у^ций: (Rn,~=>№1

. Дсли_в каждой

точке х é 3D

S^Jl2SiSA°3SSSSSSS3^tJ!!iS^

/!£РДеЛ!!йй/-ІШ§Зйл»

To^yjmum £

,

з^д8Дная^сомн^ениями

Д)(Г\#£ )

, £

t * > = t i / v v i ^ t > 0

o ^ a x ê ] )

/2.1/

~^ —> со

Тоіда_^у^|кцди ^ , ^ i - f -

j

{

являются yu./ 2-, изме2 / -

Г іжФ W<w £v oO J '

W - f w

,ÇV СО .

ция

у-

измерима. Аналогично доказывается

^,- измери­

мость функции ^

. Поскольку

то и функция '

является yu.

- измеримой. Так же. доказы

ется

u. -

измеримость функции

^ _

. '

Всюду в далънойшем через и,

мы будем обозначать неко­

торую определенную меру Лебега -'стильтьеса в R41.

3.2. Предложение,/ Признак измеримости простой

функции /. / i j ^ j j o i ^ JITOÖU^££OCT^

-Ç ;ІЯ"

1

-^ IR" Дщш

'.^ £

мшаествоС Ч і ^ О

•

/ прообраз, при отображении

• .Ç

, мноиества, состоящего

из

одного лишь элемента i j . / было

Доказательство. Ксли 4

измерима, то

, как прообраз борельвекого множества \ і|}

,

являетоя

измеримым ынояестзом /см.теорему 1.2/. Обратно,

если для

каждого

^e.'ftffl

множество

-Ç

[_ \

- из­

меримо, то для каждого вещественного

с

множество

является

р.-

измеримым, как счетиое

объединение ^ - измери­

мых множеств.

._.

Обозначим через I '

L-D)

множество всех простых

Y~

- измеримых функций Ç '• Ій

*

ftV

, с область» определе­

ний

/ Напомним,

что,в силу следствия 1.3,

r J)

является

у. - измеримым множеством /.

3.3

Предложение. Если

, то

*Ч

*=-

для любого вещественного числа с

. Если

ц ^ п ^

, то ^ + ^ Т і у ъ Г Т Т ^ £ г у C L ) •

для последовательности \\-о \ , -f-J t Проявляется

^ц.- измери­

мой. Естественно поставить вопрос, можно ли любую ц. - измери­

мую функцию представить как предел простых Li -

измеримых

^

функций? / Другими словами, является ли множество простых

из­

меримых функций всюду плотным в множестве всех

измери­

мых функций? /. Ответ па этот вопрос является утвердительным

4.1 Теорем а. Д^я_і$аждой

u -^j3juepjiM05^yjmn«i

Ç : ffi— ^ IR

( ^с^област^ю^шір^е^елерия ï) ( 4 ) = I)

^сущест^

Bjejr_j^aj<ajMKJCjm^^

дущещх

у- - vijMejmmx _фyJШ^ий ( f ^ £

{.Ь) )

, K^Topj^p^Mpjiep--

f

на .T) .

Доказательство. Для каждого натурального -J

рассмотрим разбиение пространства

на

промежутки

~~

• 3 > = Г Ч И ' ) = р Г Ч * 1 ѵ > '

/4.17