Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf

Д — Ад С А

I то имеет такяе место лротінополокное нера­

венство, а поэтоиу, М- (.М~

(А'^Ад^

. Следовательно,

д Х ^ = и Ч А ^ и У ( А - А ^

, а поэтому А л

и-

измеримо. В силу произвольности Д

, множество А

также

)х

-из.меримо / см. определение 11.2/. Зак как в силу

/12.1/

^ Ч А ^ О

, то и

ц.(АЫ/.

12.2 Предлонение. і!ля^5акд^і_м^і[^іе^ега^-

Стил^тьеса

_в

, cyjn^cjMyjTjrajcoj^ маі^імльное сіт^-

KpjjToejjHu?i£jj_o %

д.

j

. ІІѴ , что

i x { X , ^ ) ~ 0

{"Максимальность понимаем в

том смысле,что если 2'

открыто

в Г

и'/ J L U W 0 , то ' 2 С £ J .

.

Доказательство. Обозначим через -2^ѵ объеди­

нение всех открытых множеств .2.

з

ft

, для которых

,U 1^1

= 0

. Тогда 2.А_

есть открытое множество,

содержа­

щее лябое из этих множеств Л.

. Легко

видеть, что уи. ( . ^ ^ . ) =

Действительно,

мновества

, о которых говорилось выше, '

образуют покрытие множества ^ u

.Из этого покрытия,

очевидно

можно извлечь счетное подпокрытие

(іід ,«2^ -,---)

-В

силу счетной аддитивности функции

/^- ,

12.3.0 пределени е. Дрсителем меры /А называ­

ется дополнение

ІЙ. ^'^ ч множества %

, определение кото­

рого содержится в предложении 12.2. Носитель меры

обознача­

ется символом ^

-VJjy\yv ^ •

12.4 Замечание. Носитель -vu^upJX. произволь­

ной меры Лебега - Стилыьеса ^

ягляется

^аишутт множест­

вом / поскольку его дополнение

открыто /.

12.5. Предложе ни е. ,Пусть S

ми^мддь^де^ащ-

1': Носитель — Mv^'po'-c.'t

/ франц. /

-

36

-

H^oe^mojpj)TBü_j3

І|ч

, j j ö j m f l m ^ e j r ^ M j ^ ^ ^

каждого

дл. -^измеримого множества А

Тогда

л<.л^-ѵ^\. рл.

. jP^p^TjiOj^eçjm

S^. —

лкисос^

,

jo_paflejcTïo /12.2/ в^іп^шя^т_сп_дл^^акд^

yu. ^^gujjajiMoro

множества A

До к аз ате.льство. Пусть Ç>

-

такое мини -

КГ

^

мальное замкнутое множество в ік

, что для каждого

yu

-из­

меримого

множества А

выполняется /12.2/. Положим

-

—

ІК

4

~>,ѵ_

, тогда

.

- открытое множество в

ІІГ

и ^ ( X ^ ^ u t V n ^ b ^ C u W O

.пусть

^

- такое открытое множество в Ш

, что ух

(2)—

О

и пусть

S —

1ft

N

2

• Для любого

^

- измеримого мно­

жества А

имеем u

СА^

U

(.А г> *=Л + U

(А

п 2)

]

a т а к

т

к

u

( . A n ï U M ^ ' u

7

, TO L L ^ n 2 W 0

И •

/

''

д

І А

^ д

('<?> A А.У

Так как Ъ

замкнуто,

то, в силу предположения о минимальности

множества Ç ) U l S

^

. Поэтому X

С % ,

и,

следо-

вательно, гС,

есть максимальное

открытое множество на ко-

I

тором мера

и.

равна нулю. Поэтому,

'

г Л '

-Ѵи|^т. ^

'

'а

ИТ)м

. С

,

Обратно, если

и ^ ^ 1 1 1

Иг

4

то, в силу аддитивности меры,

для любого

-измеримого мно­

жества А

, /ДА"} —

^ ( A n S ç H ^ u C A n

=

=

JH. (. А П'а.Л, ибо , так как Ар

і ^ , и

fë^J-Oj

то / U l А Л

= 0 .

' '

12.63амечание. Пусть мера Лебега - Стильтьеса

есть продолжение из Д 0 .

нулем'в IPf"4

А 0

,

меры

Лебега - Стильтьеса j u

/ см.замечание 11.4/. Тогда,

как не -

трудно видеть, Ъищ^, ц 0

С

А о •

-

"Э7

-

промежутков ДА

: Д = Д ,

... X

. Поло-ип

y u ^ C A Ï = U . - O L . b •• U ^ - a . J ,

где (X,-

^

- концы промежутка Д ; , G-» <

, і = -\ , •

'

о

, • °

d

ы

- • • -, тл. . Как уже отмечалось /см.п.2.2, пример 1/,

яв

тяжениеи в К

/ при т\ - \

протяжение называется'^длиной

при тѵ-Э, - площадью, а при 71= 1

- Съемом /. '.'еру Лебс

Стильтьеса, отвечающую протяжению, обычно называютмерой

Лебега, a уіл, - измеримые мнокества

короче называют кзт^ткшж

множествами. Меру Лебега в IR

обозначаем как и протяже

через jx.

которые из этих свойств.

Прегде всего отметим,

что

ff»'"'

-М-Ч^и /*•

= Ш

•

/із.І/

Действительно,

для любого открытого множества А в

0

4(^і t

IR'

/Ai "°( А) > 0

, так как

А

содержит некоторнн

открытый

TLмерный промежуток,

а протяжение

такого

промежутка положительно.

13.1

Определение. Мнонество А

в IR

назы­

вается множеством мер^Н^ль в 1ft!

, если для каждого

Е > О

существует такая система \ Д -о ]

промежутков А -о

С (JT

, что X

ук.К,(А1))<£

и А С U

Л