Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf

враче*, множества ^

С Л ^

)

,

Isf —

O y t V

попарно не пересекаются. Для какдоію натурального

-С онреде-

яшн функцию

£ ѵ

» с

областью опридилсиин .D (Лѵ>)

— Ъ

і

следующим образом:

Функция

f ,

, -очевидно,

шшіетсн лростоі и

поскольку

См 1 (.V^f\1 ~

f

(. ^

i\j )

•

-

и-

измеримое

множество,

то функция

£ ѵ

является

и- измеркмоі, тик что f ѵ

£

Легко видеть,

что для каждого х. 6. Î)

,

/4. Б/

Действительно,

если

х é'î)

, то, н силу /4,1/, существует такое

W

* что >( е

« а, следовательно,

то есть

•jf

м

г .... V ,

Ы* 1

<

(00

V

откуда,

в

силу /4.2/, вытекает /4,3/, Соотношение /4.3/ означает

что утверждение

теоремы справедливо.

5. Алгебраические леЕстпкк над измеримыми Функциями, Теп

используя результаты,

касааг.исюк простых функции, докааеи замк

тость

множества

ju.-

изгсрішнх функции, относительно алгебраи­

ческих действий.

'

Ь.1

Теорема. j^OTb

г

—

I T ">

Ift*

мя^всех ,\feЬ

, то ^ :

д е т ь

yu-

i^ÊPJMa^jjyjijKjWH.

i i p i î u ^ j w o j ^ ^ f l ^ ^ p j ^

X

,

\Ç

дакке^ явля^

ется

IL-

измеримой функцией

u к u и а т о J, ь с т ь

о. .снольауи теорему 4,1, пред­

ставим

jiA - нсшорш.іме фупкшш

^

и

как / равно-

Мерный. /

пределы

іоследонителыіостеі;,

соответственно, ^ - f ѵ \

и

\ ^ Л

1,3

11>

• .

'jDiyia

{

V cj.

есть предел

последовательности \ V j

Г

К 0 Т 0

а п

Д V

»

Р

согласно

предло-

. аенцп 3.3,

принадлежит Г|,,

.

Поэтому,

из теоремы 2.1

следует что г V 0|.

есть

^ - измеримая функция.

Подобно доказывается утверкденио, касающееся произведе­

ния.

\ о^.

Принимая'во внимание равенстве

' заключаем,

что если

r ^ i x l ^ O

при

х é. 1)

и

g есть

- измеримая функция,

то -I ' £j

есть

у^- измеримая •

функция. Поэтому,

если, кроме того,

f

есть

и - измери­

мая функция, то

V ' U ' ^

тоже является таковой.

Последнее утверядение теоремы .вытекает из равенства

6. J»- - эквивалентность. В

этом пункте,

как и в предыдущих» j ^ , '

означает некоторую меру Лебега - Стилыьеса в

. Кроме того,

через Д)

uu обозначаем некоторое фиксированное

^д. -измери­

мое подмножество пространства lit

;

в частности,

і>

может

совпадать с

бЛОпределение. Множество А

называется

^

- jijeej^o^ejcHMUM в

D

, если

А С D

, А

-, ^*- из­

меримо и уиДД) = Г)

. Если же

и DNB>

^ - пи-

небрежимое множество в Т)

« то 3

называется множеством

дюшюй

рѵмеры в Т)

. Если некоторое свойство выполня­

ется для точек мнояеетва полной

^

- меры вJ)

, то говорят,

что это свойство выполняется

и.

-

почти_всвду не

. Есл»

(•»1

П,"!

'

и. •= м.

- меса Лебега в IV?

, то приставку д

можно

'

'

'

/

множество

^x«.î> : ^ и к с ^

отличается

от множества !j х (-.З):

'. c^ui <

с ]*

на некоторое

у - пренебрежимое

: l\i

~ * %

з

^ д

а н

ы ^ 3

^ ^

-ÏÏÏ2Ï?"

cjtge

1)

. |^ди^змJgyJHJЩИ__эJtв^^

/ с^носи-

т^ыіс^щш_Ле^ега

д ' 0 ^

/, ^o^H_^paBjnjj^T^_ecTb

-fCxlc

Доказательство, Если в некоторой точке

x0 €.ï> f O d

^о^Уо)

то, по непрерывности ^ О О ^ О О

для всех

%

из некоторого открытого

тимерного про­

межутка,

содержащего точку Х„

. Но мера Лебега такого проме­

жутка больше нуля.

1

, Çv'• ^ 4 1 —>

Ш'

сходится '-у. -J w ^ j H j c j j j j j a

I)

O n j j e f l ^ n ^ y j n ^ r a

-Ç

сл^дувщим^о£радом: I) СП

_естьjrao-

жество / полной

J J .

- меры в £)

/ тех X

П flJT DCÇ-,) ,

для которых существует / конечный/ предел •U''wi

{.ЧЛ

н

\ і.ч.\і IJA'w Ç V U )

. „при, x б ÏK^)

• Eçjnujjregra •(-i

,1^5

H3jgpH3ij_j^j{^HKUM -f

д-измрі*а.

Доказательство вытекает непосредственно

из теоремы 2.1,

поскольку сужение

- измеримой функции на любое

у,- Из­

1 В качестве области определения суммы •{- +• Ц.

» а. также про­

изведения ÇfJ. принимается множество Т)(.И

П ТМ°р-