Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 72
Скачиваний: 0
{.напршіер, если g = ^ j ) ' " ,'то ( Ь Ч О ^ ' - е ' ^ ^ '
и инвариантно, относительно предельного перехода, в смысле с
димости |
|
у. - почти всюду. Точнее, |
если |
последовательность |
||||||||
сходится |
р. - почти всюду на |
|
|
|||||||||
при V =г I , IL -, • - - |
|
• то |
последовательность |
такае |
||||||||
с ходится |
|
^ - почти всюду на 3) |
|
и пределы этих двух по |
||||||||
следовательностей |
yu. - эквивалентны. |
|
|
|||||||||
7. Теорема Егорова* |
Пусть |
Т> |
уи.- измеримое мно |
|||||||||
жество в |
З^ |
,причем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Д 1 Ю < ~ |
|
|
|
|
/7.1/ |
||
Теорема Егорова содержит следующий неожиданный результ |
||||||||||||
" с точностью до множества сколь уі-одно малой |
~ ы е Ры " |
|||||||||||
сходимость |
у. ~ почти всюду / в частности поточечная сходи |
|||||||||||
мость / совпадает с равномерной сходимостью. |
|
|||||||||||
7.1 |
Теорем в. JjcTb |
|
ул |
- J } o 4 ^ s o ^ ^ m j i H o ^ - |
||||||||
стве 3) |
|
пооз№твйхелънот> |
\{ч\-^\ |
}*-- иаШШ |
||||||||
^ЙГНіщий |
-о '• |
— ^ |
/ft*v> |
— 1 ) а., |
- - - |
|
схрдиігдд к функци |
|||||
полной |
|
|
|д-- меды_в J ) |
_и |
|
|
_.J!ä£ejm»a. T°J!£JU^JL£§ïr |
|||||
дого t > о |
• 5йв°55і2?~йке |
|
|
^ |
zjusiësaastjfsssîs^s. |
|||||||
J>e c j ) |
» что |
(.ІЛІЗ^) < £. |
JL3 |
|
î)g |
JJOcлeдo£a^л№oçть |
||||||
\Ç-<p\-*Ti оходит^н^равно^іерно. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Дока за те льс тв о. Для каждого'натурального fe. |
||||||||||||
|
|
\ |
|
1 |
w |
) |
|
|
|
|
|
|
множество |
X €І) (4) |
№к |
~ |
t |
^ |
l |
* |
^ if |
^ - изй |
|||
как |
прообраэ открытого одномерного промежутка / с концами - |
+ S |
/, при у. -измеримом отображении Сч - Ç . Поэтому, из |
меримыми являются множества
54
Так лак при х t Ы Н |
^ ' |
^ J |
= |
^U |
* > |
то |
|
|
U Л , Г> f |
- 1> (И |
дли каждого S |
> |
G |
|
. Учитывай, |
||
w o D f cjy[c.-.. |
и принимая |
во внимание замечание |
||||||
. S.7, находим, что ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсиди заключаем, что для какдого ^ |
> 0 |
существует |
такое на |
|||||
туральное |
^(S •„ |
,.для |
которого' р- |
|
|
при |
||
\) > ÏS/j |
- іозьмеы |
теперь §~.8у. 4? Я,к |
', ^ - ^ к |
^ ^ £ |
||||
' сим'1 |
|
, , " D K i |
|
|
, |
Кы имеем |
|
|
и ПОЛОЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/7.2/ |
|
/7.3/
Положим = П к = , І^іг. I тогда в силу /7,2/,
Кроме того,в силу /7.3/, последовательность !j |
сходится |
||
равномерно на .Ь^ |
к ^ , что требовалось доказать. |
||
Используя теорему Егорова, можно доказать следующую теорѳ- |
|||
ну Іі.іІ.Лузииа: |
|
|
|
Дудеть [ ; №Г ~9 1ft1 |
дсиМ^шшя, ^адавзя__н_а |
^-jiejgHDM |
|
gaujtH^T^ijigoj^^Tjje, |
] > ДіР^т™£хЗЯВ5й { |
была иамерй- |
|
цой /омЬыдальНо^е^ы_ле^бегаутЛ"'1 |
/jjmp^oj^MOjL достаточно, |
||
-55
|
( |
1 |
< е. Jl, что функция f |
|
d J M Ç - ) |
, что. juL '" l.D(Ç)^î)t) |
|||
jiejijejMJMajja^HHOjecT^e _Г) |
|
|
||
§ 3. Интегрирование |
|
|
||
1. Интегрирование простых функций. Пусть -Ç |
- некоторая |
|||
простая функция .IR'*—*ftV |
, a J) |
- некоторое подмножество |
||
области определения функции |
. Для каждо |
|||
го i ^ t T U ^ / |
RC-Ç-1 - область значений функции (- |
, а |
||
следовательно, |
не более |
чем счетное множество ,' положим |
||
1.1Определение. Простая функции -Ç '. ІР* '--S» К
называется ^ ^щіт^щемо]! /или ^ - çJyjmwpjejioIi / па
Д - измеримом множестве Г) С î) (Ç) |
, если ее сужение на |
|
JJL - измеримо и сходится ряд ^ |
|
|
X |
C i * ) . |
/1.3 / |
1.2Определение. Пусть \. - прост a.і
JA. - интегрируеная на 5) |
функция. Тогда сумма ряда |
который, в силу определения 1.1,'сходится абсолютно, называется
К ~ интег£алш£ от функции -\ |
по множеству Т) и обозна |
|
чается символом j \ ^f- |
- |
|
.1 Если для некоторого ^еЛЦ-О . иЛТ}*) = -и» (" то1 ряд |
||
/1.1/ |
считается расходящийся, |
То'*е относится к рядам /1.3/, |
/1.2 |
/ й /1.5/, си. нихе. |
|
56
1.3 Ii p и u о p. іусть (jH.A |
обозначает характери |
стическую функцию множества Д , то ксть функцию, для которой |
|
• j A U ^ - ' \ |
, при X <г А |
и ^ u ) - = Ö |
при Х6 |
А . |
|||
Для того, чтобы |
была ц - |
интегрируемой |
на |
"О |
, |
необ |
|
ходимо И достаточно,чтобы пересечение А Л Î) |
|
было ^и. - tt- |
|||||
меримым, |
и чтобы у |
( A r \ D ) < ^ ° . Цели эти условия выполнены, |
|||||
Доказательство вытекает непосредственно из опроделений. |
|||||||
1.4 |
.3 а м е ч а н и е. Непосредственно |
из |
определений |
||||
1.1 и І.й |
вытекает такие что простая функция |
Ç |
является |
||||
. JA. - интегрируемой на .3 |
, тогда и только тогда когде- |
||||||
и. - интегрируемо на ] ) |
ее абсолютное значение |
| f | , |
|||||
которое, очевидно, тоже является простой функцией.'При этой
Общее, |
если £ |
И |
^ |
- п Ро с т ы е |
/*" " |
и з и е Ри ~ |
||||||
мые функции, |
причем ІСсю)^ ^С*1 |
' При х<&Т) , то |
•[ |
явля |
||||||||
ется . |
у. |
- интегрируемой |
на Т) и I^ т |
^ |
^ W |
^ |
|
^ сід- |
||||
если |
^ |
- интегрируемая на |
. Доказательство |
выте |
||||||||
кает из следующего замечания. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.53амечание. Пусть |
-f- |
- |
некоторая функция |
|||||||||
Щ* |Ц* , a |
J) |
некоторое |
|
- измеримое множество, |
||||||||
содержащееся |
в JD(-Ç) |
. Предположим, |
что |
|
Можно пред- |
|||||||
ставить |
в виде не,( более чем) счетного |
объединения попарно непе |
||||||||||
ресекающихся |
|
^д.- измеримых множеств |
|
, причем, на |
||||||||
каждом из этих множеств функция |
постоянная: • |
|||||||||||
|
D |
= |
U D V |
|
D ^ n 3 ) ^ = « |
приѵ^ѵ' |
||||||
W= |
V |
при x € .3>v |
. |
|
|
/1.4у |
||||||
|
|
|
|
- |
57 |
•- |
|
|
|
|
|
|
/ В частности, |
£ |
- простая |
измеримая функция/. |
|||
Для того, чтобы |
была |
у.- |
интегрируемой на 33 |
, |
||
необходимо и достаточно чтобы сходился ряд |
|
|
||||
|
Z u |
Cî>.) |
|
Л . 2 ' / |
|
|
|
|
|
' |
! |
|
|
Если это условие выполняется, то |
|
|
||||
S $ Л/А. = Z ^ |
^( . Б -Л • |
/1.5/ |
|
|||
Действительно, |
если |
- некоторое значение функции |
, |
|||
то есть если \^ б |
(.Ç ) |
, то |
|
|
||
где символ U |
распространяется на асе значения >> |
, |
||||
для которых ѵ^о =• \^ |
. Так как ряды /1.2/ |
И /І.Е'/ имеют |
||||
неотрицательные члены, то в силу /1.6/ и счетной аддитивно меры ул. , они имеют одинаковые суммы. Следовательно, ря
/1.3/ сходится тогда и только тогда когда сходится ряд /1
ж суммы этих рядов равны.
1.6 Определение. Через L l l ^ , . СЬ") мы обозна
чаем множество простых функций, д - интегрируемых на
K^K^S^xÂMSSS^LSBJiS^^S^Sè |
L f 7 ^ |
( 2 ) 3 - |
Более подробно это означает следующее |
' |
|
1/ Если |
|
|
тосЦІП^ЛЪУ |
и \ с ^ / = ^ |
d / |
-58
