Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf

Объясним, что это аначит.

13.В

Определен и е. Преобразование Т"

про­

странства 'Ш

в себя называется его ^уігашдазм, если оно

сохраняет расстояние, то есть I Тх - Г^1\ =

для любых

Х^цбЙ11"

; при этом если х = С х,, . - ,Х^)

, то

Хх = х + х,е,

и ^ е * (

где X •

- некоторый фиксированный элемент М-" ,

.

- некоторый фиксированный ортОнормальный базис в Ш

ства, !R

H^jmoora^^

А ^ $ѵ мндже-

ство

Т A

яв^я_едся^53ііе^мшм_^і

^ ( Т ' М

= ^ Ч

А Ѵ

/із.2/

Наметим доказательство этой теоремы. Назовеи повернуты

тѵ

-мерным промежутком множество,

являющееся образом тх- -м

ного промежутка при некотором движении пространства !R

Пусть

П

- некоторый повернутый

тѵ -мерный промежуток.

Представим его в виде

где Т

двиаение пространства (Й'ѵч

, а Л П - . . ) Л ^

одномерные

прокрутки* Исходя непосредственно из

соответствую­

щих определении ^жно доказать, что множество П

измеримо в

я что

1

-

40

пространства Щ

. Предположим,

что множество А

ограничено,

содержится в TL.- мерном промежутке Д.

и измеримо, так что

/си.определение

11.2/

Б силу

/13.7/

отсіэда иытокиит, «то

•'

д ^ Ч Т А ^

+ / і - И * І Т U - A ) ) -

^ " Ч Т Д )

. / 13.8/ '

Пусть А

-какой-либо . w

-мерішіі промежуток,

содержащий

повернутый проиекуток

I Д

, Так как A

N

I А ~

СД"1 ГД

4

^

иСТД^ТА)

,то ,и( м *(Д^ТА) 4

( A NTA) f

f

^А.^* [ T A v T А)

' , Учитывая, кроме

того, что множества

А

и Т А

измеримы и, следовательно, и ( п ' * ( л

Д Ь

=

j a ^ ( A ) -

и ы ( Т А )

имеем

и

1

"»

( Т А )

+

* V" "

(Д N T'A) 4

I ТА) 4- ^

( £ ) - .и

.'

» Отсюда,

на основании /13.8/,

находим

( Т А )

( д

s Т/А)

«

^

ы

( А ) .

/

Так как ТА VJ (£х ^ТА4 ) ?

А

, то имеет также место прот

вопологное

неравенство, то

есть

Это означает,

что множество

А

измеримо и, в силу /13.7/,

множества \ U.£ 1ft' : "Ц < с|

, которое яилпетсн борелевским

в ІІГ.

"

Необходимость вытекает из следующего рассуждения. Легк

видеть, что

(Г- алгебра,

которую порождают множества

вида ^ ѵ^^ій': ^ < С-У , когда

С

приобретает всевозмож­

бого борелеаского А

в

, его прообраз

Г CA)

содержится в

<Г- алгебре, порожденной множествами вида

/11.1/. Так как все множества вида (11.1),

А" измеримы /е

-

измеримая функции/,то, в силу теоремы 9;6, <j 1,

порожденная ими С-

алгеора состоит из одних лишь \х. - измер

мых множеств

и, в частности множество ^ (.А)

и - изме

ее

- измерино^функі.иі; ^

есть

U. - измеримое JMHOJCC-

стдо

Действительно,

JJiY Î

V

^

'

1.4 о л с А с ï ь и е. ^п^того^ чтосы функции Y • Сы

6

0

c

a

\ \Д|

hjljliï '!^^"»

^SJ2525ÜÜÜ " 2° T T04ho; чтобы прообраз

Действительно,

люооі промежуток есть борелевское

множе-

1 наприиер ,

ft.1

: \^4 c l -

\ ^

R" : \\ < с \- ^ г J

8 • Например Ç "

4

( U A g ) = U

è'DC-f):

\- W і е U A ѵ \ ~

.- = U

\ * è > W

;

е-Av'î =

U

(

(АЛ

44