Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf

I-ÇIMU C^UO

,ппи x

t £ > .

/3.1/

Если o^t L ^ l î ) > : .

' 1-X2.. {bU^ib)

• ІЦчастно-

сщ^есш.

JU. -„изид^имдя^івди^^

J )

, то

шіа

3-3fiî2£EJΣy3ï5Ji2. ^ •

Доказательство. Если ^ £ L ц (î>)

то

оуществует такая функция

о^, t L H ^

, что С^ОО^

C^„l*} '

при X £ Ï)

/си. определение £.1/. 3 силу

/3.1/ инеем" \Çt*Vl ^'q0

(х)

при Ы. é 1)

, а это озна­

чает,что ^ t L

(. и)

. Второе утверждение теоремы вы­

текает

из того,что функция,

равпая на 3)

константе,

и. - интегрируема на Î)

/ при условии,

что

СТО < - 3 0 J

см. пример 1.3 /.

3.2, Теорема. Если jx.

, тр^тобдя^^нк>

ция^ [\ , задатшмт 1)

, является

^ - JJHj^erpHjjyj-

euoBjja

дУ

1

S^'Ç^f1 =

О

Л'огк азательство. • д - измеримость функции

£ на' *J)

~ вытекает дз того,

что любое подмножество множ

ства

JA- меры нугі

jx - измеримо и имеет

Д- меру,

равную нули. Если

£

- простая функция,

то утверждение

теоремы вытекает непосредственно из /1.5/

/ поскольку в э

равенстве ЗХгС

, а поэтому уиЛВч)=0

/• Для слу­

чая "не простой функции '

доказательство получаем пред

ным переходом,

на основании определения 2.4.

3.2' '

3

а'м'е ч а н и е. Наше определение jx. - интег­

рала предполагает,

что область интегрирования есть непустое

жество".^' дальнейшем мы считаем,

что, по определению, любая

функция

jjL - интегрируема по пустому множеству и, что ji -

üiüJIS

• ]ій3^^юд^_бнр_дт^озз^

1°

Ь',сли

U

l b )

а

с ç

то

и S c ^ = c 5 H f

г0

ЕСЛИ

{,,c^

CD) ) то Ç ^ 6 L u l u )

3°

Если

{«L^CÜ)

и { і х ^ О

прихбі),

то S

> 0 .

нии леммы 1.7

и определения 2.4. В частности, для доказатель­

ства утвернденип 3°, заметим,

что, в случае когда -Ç (х) О

при Х.е.3)

I и, как видно из доказательства теоремы

4.1, § 2, функции Its,

из 1-.П

С ЗУ)

, равномерно

аппроксимирующие £

на 3

'

і можно строить так,

что $-, M ^ 0

при X t Ъ л

"О = і 1 2. , .... .

o ^ L ^ C Î ^

JAи U(nUHHO^iW^

.при x&"DX£ î> I то

pjjMajia

J)

j^^j^A^ujwejibiio, исполняется /4.1/.(свойство,

выражаемое равенством /4.1/, называется свойстаом^щной

^д^шшюстіі

ja. - интеграла ) .

Л о к а з а т е л і, с т в о. Если Ç

'

- простая

функция,

то иктергплы S^Mf*-

11

равны

cywi.'.ai.i, соответствующих,

абсолютно

иходшшсн

рядов /см.замеча­

ние 1.3 /

и, .в ;ітом случае, ноше утверждение

иытеісает из счет-

ноі аддитивности мери

у.

и правил арифметических дей-

ствиИ над абсолютно сходящимися рядами

/см. /1.5/ / :

Пусть теперь

^

- произвольная функция,

интегри­

руема на

Д)

. Тогда, в силу замечания 4.1, она yU_ин­

тегрируема такЕе

на каждом из множеств А ^

. Зададим произ­

вольное е. > О

и обозначим через ' Ç L

такую функцию иа

1_П^Л1>)

, что / см.теорему 4.1, § 2 /.

/4.2/

Мы имеем

^

Так как

- простая функция, то, по доказанному,

ряд Х^_,Лд .Ц£ Ігі/*.

сходится / его сумма равна

\ Ufl^M V • Поэтому

, при достаточно большом N

»-MV1

\

'