Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 69
Скачиваний: 0
случаю, |
когда A W H |
= А |
• |
• • = S i |
и учесть зам. |
||||||
чание З.Е |
, согласно которому интеграл но пустому |
множеству |
|||||||||
равен.нулю: обратим внимание |
пато, что в наших |
предыдущих |
|||||||||
рассуждениях не нужно предположение, что рассматриваемые мно |
|||||||||||
жества |
не |
пусты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Абсолютная непрерывность интеграла. В этим пункте |
||||||||||
мы докажем, |
что " интеграл, |
по множеству |
бесконечно малоі меры, |
||||||||
есть |
бесконечно малая величина". Это свойство |
интеграла назыв |
|||||||||
ется его абсолютаоИ^^^ |
|
|
Точно |
оно формулируется |
|||||||
следующим образом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5.1 |
Теорема; Jly^cibjliyiiKuiin f : IR —» IR |
^івлпотси |
||||||||
^ - ^)£т^£Р^Р^емой_да У> |
|
. JOV^JXMJ^KAOTO |
£ > |
О |
|||||||
cj^ecTj^eT__MKoe сГ > О |
|
, что | S д { сА^Ц I < £ |
, |
если |
|||||||
А |
" |
U- HjMj^MjjejTojire^^ |
|
Л) |
|
|
|
||||
|
Доказательство. Пусть |
|
|
|
|
||||||
A C D |
j |
A |
|
измеримо |
и jx. |
|
. Положим |
|
|||
В силу теоремы 4.2, мы имеем ^ д |
^ ^ |
|
|
^Аѵ ^^ Л" |
|||||||
Выберем N |
настолько большим, |
чтобы выполнялось неравен |
|||||||||
ство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/5.2/ |
где |
|
|
- заданное положительное число. Тогда, принимая |
||||||||
so внимание |
следствие 3.6 и/5.1/, получ,им |
|
|
|
|||||||
|
$ K l c U « Z . |
^ + О д І А ^ + 4 . . «(N+02. |
М М * - |
||||||||
= (М+-0>Ы А ѵ ) + | < ( W H ) У + 5 .
.. JÜ ді- |
|
|
) $ |
(.А 1 < ü |
. Следовательно, |
если взять (5< |
|||||||
<e/ä,(Wn) , то I SA Ç |
|
I < SA I Çlot^ •<£ |
, что и требо |
||||||||||
валось доказать. |
|
|
|
, . |
|
|
|
||||||
|
|
6. Интеграл и эквивалентность. Начнем со следующего пред |
|||||||||||
ложения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
е.Ь ï е о р е м a. 1£сіт_^ункіт^Ш~> |
|||||||||||
з^данеміа |
J)( |
Заесть |
1) С |
, j i |
^ -jrp_ejje6p_ejwMa |
||||||||
jm |
|
X1 |
|
|
/см.определение 6.3 § 2/,,^р__она |
^ -^штегри- |
|||||||
|
|
Доказательство. Пусть Д)0 — \ * |
: |
||||||||||
По условию, Т)о |
|
- есть множество полной |
уи. - меры |
||||||||||
на Д) |
, а поэтому jx. |
(2) NÎ),,) ~ О |
. Непосредственно иа |
||||||||||
определения |
JJ-- интеграла вытекает, |
что / простая на 3>в |
|||||||||||
функция -Ç |
|
|л. - интегрируема на 3^0 |
и |
S^, |
-Ç <Л^и = 0 і |
||||||||
Кроме того,в силу теоремы 3.2, Ç |
|
" |
ИЙТегРиРУѳма на |
||||||||||
î* |
4 |
!),, |
и |
|
САь.=0 |
|
. таким образом, в силу адди |
||||||
тивности интеграла,• |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
6.2 |
Следствие. Пусть -Ç -, ^ '• |
|
— * |
ft |
|||||||
- |
функции, |
заданные |
и |
^ - эквивалентные на J ) • / см.опре |
|||||||||
деление 6.3, § 2/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если \ |
t |
|
lî>) |
|
,^то |
Oj fc |
CD) |
|
|
|
|||
_и |
|
\.Д A u |
= |
S o,c*K_ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Действительно, |
функция |
^ ~ т |
пренебрежина на J ) |
||||||||
Применяя к ней теорему 6.1, находим, |
что |
|
\ ç |
\- j - CD") |
|||||||||
и |
|
^ 1 ^ 4 ^ = 0 |
|
.ЕСЛИ . { e L ^ l P ) , |
|
|
|
||||||
Нетрудно привести пример функции, |
но являющейся нре |
||||
небрекимой, для которой |
^ ^ ^ . = 0 , причем д'.І'0>0 |
||||
Однако, если функция ^ |
знакопостоянно, |
то теорема 6.1 |
|||
допускает |
следующее обращение. |
|
|
|
|
6.3 |
ï е о р е м а. Л^сть ^ è |
L u |
CD") |
_и -( U1 г- О |
|
|
a |
|
|
и |
|
JA. - J153ïïï-J!£!?ïï-" |
" |
^ / ~ 0 |
, то |
||
^^и. - ДЕедеб^мшш^і^ D .
|
Доказательство. Предположим, что Ç<-*) > О |
|||||
на некотором |
д -^измеримом мноместве с |
-0 |
, причем |
|||
/Д-СІ>о)>0 . Пусть I>s>= \ X feDp : т |
^ |
< Ç o o s |
t j |
; Так |
||
как |
~ |
V и.СОг^-Ѵ - •• |
, w |
существует такое |
||
О '' , что jx ( |
> С • |
|
|
|
|
|
|
Принимая |
во внимание, что |
Д - интеграл есть неубы |
|||
вающий функционал /см.следствие З.Ь/ находим
вопреки условию, что |
•0 |
|
6.4Следствн е. Если
S^W^^O |
, то lç |
j^-j^ene6pewmjta |
. |
Поскольку, |
как выяснилось /см следствие |
6.2/, значение |
|
^А. - интеграла зависит от значений подынтегральной функ
не во всей области интегрирования, а лишь на множестве пол j j _ - меры, то естественно обобщить понятие уц. - интеграла
на функции, ааданные ^А. - почти всюду в области интегриров
—
6.5Определение. Функция Ç ' К * Ш ,
заданная |
- |
почти всюду в JD |
, называется |
- _ин- |
|
те^и^у_емоЙ__на I ) |
|
, если она |
~ эквивалентна некоторой |
||
функции с^е. L ^ . ( |
î ^ |
. В этом случае, J,K. - интеграл |
|||
72
от \ |
по Т) . определяется равенством |
|
||
|
I i |
|
ъ |
|
S.6 |
У а м о |
ч'а н и е. Однозначность определения 6.5 |
||
вытекает из следствия 6.Й. |
|
|||
0.7 |
Определение. Начиная с этого места,мы |
|||
следующим образом меняем определение множества |
|
|||
Множество Ѵ-^ |
состоит из всех функций, заданных иа ~\) |
|||
jx - почти всюду и |
уи - интегрируемых на |
, В |
||
смысле определения 6.5. |
|
|
||
6.8Замечание. Алгебраические действия над
функциями, |
заданными на 3) |
jx. - почти всюду определя |
|
ются так, что • |
|
|
|
и |
|
|
|
Множество L-д tî)^ / |
понимаемое в смысле определения 6.7/, |
||
является, |
по-прежнему, |
линейным пространством, a jx - интег |
|
рал / понимаемый в смысле определения 6.5 / является линейным положительным * функционалом на этом пространстве /ср. с теоремой 3.4 /.
6.9Определение. Пусть функция Ç\ R — * R'
задана |
у-- почти всюду на Д) |
. Говорят, что." |
д_ |
|||
£уде^5тве^іжш^ |
|
|
|
, -если суие- |
||
ствует такое действительное число •<ѵу\ |
( M ) |
, что неравен |
||||
ство Ç |
>*тп |
^ M ) |
выпояняетоя |
уи.- поч*я |
||
1 то есть, если Ç feL^.lt)') и |
^ о о ^ О |
у. - |
почта |
|||
всюду на |
, то S-jV^p^-O. |
. , |
|
|
||
-73
