Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.08.2024

Просмотров: 68

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

всюду на X)

• Наибольшее из таких чисел w.

/наимень­

шее из таких

чисел

'М

/ называется j^gecrBejmcj^

 

^вврзшвй/^г^анью^ функции f

на J)

 

и обозначается сим­

волом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f Wicw'moui Con

 

UAAXI. ель'яллр

Çc*)

") .

 

 

Если

 

 

не является в существенном ограниченном

на

снизу/сверху/,

то, по определению,шснттЧ»

6,10. Предложение. Если

 

Ьд.ПЯ

, до

1 ^ < U \ «

^

w c

w

l ^ u ' v l

A

 

 

 

/6.1/

Доказательство вытекает из того, что

 

^ - интеграл

является положительным,

а, следовательно,

неубывающим функцио­

налом на J>

:

Если

^ , ^ €. Ly_CI>)

 

л , f u ^ c ^ O O

JA. -^pjiM^BcjDfly__Ha

J>

 

,jro S j

j

t ^

^

^D^A

^ c p 'c

доказательством.следотвий 3.5 и 3.6/.

 

 

 

 

 

 

6.11

Следствие. Пусть -Ç -Д ѵ

£

Ly,

C M

 

^ в ^ Д , . . .

 

и пусть при

л)—>о°

 

 

 

 

 

 

ттыл <ѵи.сі* ЦчОО - -Ç

— >

0 .

 

/6-2/

 

*бЗ>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда при

\І - у »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 8 . 3 /

 

8.12

Замечание. Если выполняется предельное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t e l

0 0

соотноиеиие /6,2/, то говорят, что последовательность j V v f v r f в существенном равномерно яа 1) сходится к функции -С

-74

В соответствии с 6.11, в этом случае, можно переходить к пределу под знаком JJL- интеграла, другими оловами, j U . - j $ r

Tjirj3MJ1MHW}H^

 

 

MejDHj)H_^j^u3ÇTMH^^

Подчеркнем, что условие

jx (ïO < 0 0

здесь существенно.

В следующих пунктах мы рассмотрим другие, более глубокие,

теоремы о предельном переходе под знаком интеграла*

?. Теоремы о.мажорируемой и ограниченной оасодиноеи.

Введем следующие

определение.

 

7.1Определение. Пусть последовательность

 

, ^

€

сходится .

Почти всюду на

.

Мы окажем,

что сходимость является jnajpjiMjjy_äMOjl( если существу­

ет такая функция c^t \_

(.В)

, что

почти всрду

на Л)

, при

Si* Ь I (...

' .

 

 

 

При этом, функция

называется^ у -

интегрируемой цЦо-

jgaHTOkl последовательности ^Ç-f-V^ + t

Следующая фундаментальная теорем* принадлежит А.Лебегу

иназывается Teojpjnwfl^jD^iaj^^

7.21' 9о р sк a--o£,

ДИМОСТИ, JO

Jf t Lyu. СТЛ

JL5E? ^ ~ * 0 0

 

 

Н ^ < У — * S*<*> •

/7.2/

Доказательство, Ввиду изложенного в п.6,

не ограничивая общност-ь,

можно предположить, что ^ ( i O - > - f ( v O

при N — > с*

J9.483Lн а множестве 3)

. В селу теоремы

 

 

- 75

 

2.1, § 2, функция j -

j L -

изнорима

на J>

. Пусть

обозначает

|<. - .интегрируемую мажоранту последовательности

\

. Переходя к пределу при \) — * =°

в /7.1/ полу­

чаем l Ç t * » l ^ ^ ' ^ 1

при * fe 1)

, откуда на основании

теоремы 3.1 заключаем,

что - Ç é L ^ C D ) .

 

 

Раоомотрим теперь произвольное £.> О . ІЗ силу теоремы

5.1/ .о абсолютной непрерывности интеграла / существует такое

О, что

 

 

 

V

/

.

/7,3/

если

jx

-

измеримое множество

А

удовлетворяет условию

kcb)

uCAU^ , Кроне того, в силу теоремы Егорова 7,1, § 2,

существует такое

^о- - измеримое шюяество J ) ^ С "Ù ( что

уаЦ))-и

< $

и на T ) j

 

последовательность

^ ^У^

равномерно сходится к

£

. ),<ы имеем

Так как u ( D vî)$) < сГ

, , то, в силу /7.5/і ^ <J <fy< < £ •

Поскольку на і*^ сходимость является равномерной, то суще­

ствует такое натуральное N

, что -^ио ЦуІО * f U l | <—

при -V > N .

 

Поэтому, при V > M - "

 

что и требовалось доказать.

7.3Определение. Пусть цоследовательцость

{|т)\>)=1 ;

£о € L-^CD) СХОДИТСЯ yu - почти всюду на

.

(,1ц скажем,

что сходимость является йгднщчднной,

если

суще­

ствует такое число M > 0

, что

jx

- почти всюду на 3) ,

при -м = А, X, ... ,

 

 

 

 

 

 

1 И < м

•

.

' .

А . 4 /

 

N следующей теореме, называемой теоремой о огцдничеиІШІЦсх^дшюсти, существенно, что jx (ID")

7.4Т ѳ о р е м а. Лщь f и é Цц. Ф") -,-О^АД,....

Еоли ^ ^ — > Ç

при -0 —з»

jia J )

g смысле

OjMDajWjejJHjlH^

то \

С Lu . (.3^)

 

XJÏ£?

Доказательство. Пусть выполняетоя условие

/7.4/ и пусть о^ио=*М

при

к 6 D

І Тогда» поскольку

^{_Х})<^>

f

(^е1.д1Ь)

и, следовательно,

выполняется

уоловия теоремы о мажорируемой сходимости /ом.7.2/*

7.5

Замечание. Теорема 7,2 покавывает, что

пространство L ^ СіА замкнуто относительно мажорируемой оходи-

цости и, что

|л - интеграл есть функционал, ^впцярывянй

относительно мажорируемой сходимости. То же верно для ограни­ ченной сходимости, при условии, что jk,СЗУ)< 0 0 •

8. Теорема о монотонной сходимости^Эту теорему назы­ вают такяе теоремой Беппо Леви. Формулируется она оледуюийи образом.

' 8.J.

Т е о р е м а.

^IL^CDV, » = 4 А,---

пусть .

|л. - діочти^всіо^у^иа^-1)

 

 

.

 

,ч

/оа/

17

Еоли существует такое

 

У 0

, что при ѵ = •!,ft.,.-,

 

 

 

 

 

"К/

 

 

 

 

/8.2/

 

 

С с х ) І Ч Ѵ т

J^OO

 

 

/ 8

'

3 /

является

 

J J S ^ ü U ^ ^ j o a ^

 

»

^

y"-®,JL

 

 

^ o \ u . = Itrvvi П ѵ ^ К

•

 

 

/8,4/

 

Доказательство. Обозначим

через

 

то множество

полной

ju - меры в J )

, на которой заданы все функции

|.

 

и выполняются все неравенства /8.1/ и положим

Прежде всего,

покажем,

что yj-

 

 

 

 

 

С этой цѳдью заметим^ что

 

 

 

 

 

 

 

і_

.

» Q

<ѵ\и-и. X ÊJD.«> •

Предположим, чт.о ^JL(DC«1 >0

.И зададим произвольно

малое £ > 0

.По теореме Егорова существует такое

у.

- измеримое множество А£ С

 

, что ц.СІ>Эо~) ~

_ ^ U t W

 

 

и C ^ u ^ - ^ u ^ - i О

при

>о —^ =0

равномерно на А ^

. Таким образом, для каж-

1В соответствии с известными свойствами неубывающих числовы последовательностей, конечный или бесконечный предел /8.3/

существует на множестве /полной меры в ]J> / техХ дм которых выполняются все неравенства /8.1/. .

78

Смотрите также файлы