Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf

дого <Г > О

существует такое натуральной (^)

, что

£ЬЬо ~^,и\У

< б"

при N

> N

,

и у £

h L .

Так как, в силу /8.1/, V% te) -

(*) > О'

при х 6 І>0 ,

то

отсюда вытекает,

что £ ѵ Сх.) - -f(

U) >

g? при

V

> H , X б

. Следовательно,

так что

При ^U-CT),.4)

и при достаточно налои

, пос­

леднее неравенство

невозможно. '.

Докажем теперь, что ^ Ç L^. СЗ})

, где -f

опреде­

ляется соотношением /8.3/ на множестве

Т)„ \

( Полной

I*. - меры в 1}

) . С этой целью, при N = АД,...

положим

и обозначаем через

простую функцию, заданную на

соотношением

4

Проверим, что t\ £

C T ) )

, то есть, проверим, Что рад

N функция — -Ç

интегрируем иа Д) ,

.' •

- 79

A N

/

M - * « '

С другой стороны,

поскольку

ул.- интеграл есть неубыва

щий функционал, то

Отсюда вытекает,

что оходится

ряд

= < (•

( А ^

^

а поэтому также ряд Х^ - . , W ^-ѵА^)

/ обратим внимание

на то, что 21 ы= 1

^и-

Итак, €.

. Учитывая, что,

- почти

ьсвду на Ъ .

, O i ù

«

£ ü O

~ ftu)

« £ 0 0

на основании теоремы о мажорируемой сходимости заключаем,

ч

откуда вытекает,

«то ^ ç L^.(î>)

и, Что имеет Ыесто /8.4/

8.2, Следствие. Пусть u , 6

(ЗЛ , i»s\,l,...

А.

^ ^ J t o j w r j c j n a y J * Ъ

Если

• f . W »

d

A

<

°°

)

'

6

/О'' /

TOJpja X j t i Uv (.*ï

СХОДИТСЯ

yk - Ji^i^ _ ^W _ 28

Л о к a э a т e л ь с т в о. Функции + „ = I .

u

v

удовлетворяют условиям теоремы 8.1 / Например( в качестве

числа

, из неравенства /Н.2/, можно взять сумму

*

ряда Z.^ = 1

•^^•'^Л ) • Применяя к ним эту теорему, прихо­

ния о возможности перехода к пределу под знаком

у. - интег­

рала.

9.1

ï е о р е м а. ^1у_сть ^

Ç. lî>) , ѵ ИД,... .д,

S j ^ U ^ O

у -Jipj4TH_JJCTOyji8 D

при v =

( , 1

-

Предао^ожиМд^что

д -Jiow^cjOÄyjfa Т)

$ Д * ^ - ^ { 0 О

-

/9.1/

Есш^с^щ^стдует такое *Я. О

,;что ПРИ V -

I Д ,...

.

.

' /9.2/