Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf

jx - интегрируемой па J)

, так KÜK ряд

21м=і 5д, Ц^Ам

цакорируется рядом /10.1/. Пола­

гая далее С^ѵ ,==

A І (1 В . ѵ .

находим, что система . .

I ^ч^і' s V j-o ' = 1

также

является

о~ - ФИНИТНЫМ

разбиением множества Ï)

. Принимая во внимание счетную

аддитивность

ц. - интеграла и используя известные

свойства рядов с неотрицательными членами, находим

z S ш л и - î x

S,

K i r f u =

A„= A v л Ь •= A v О (

J

, В

= L vT. A, ri ß „. =

йі аналогично,

См

З ѵ і — U v = ,

C v v '

заданная

и - почти всюду на "D

, называется

ц - интегрируемоі^на D

если она

и. - инте­

грируема на каждом множестве

^

Ъ

, таком, что

uCt>'' )

'и, для

некоторого

s~

- конечного

разбиения ^ А ѵ " | ѵ = 1

мнокества

Т)

сходится ряд

•

^

* 2

этои случае,

u - интеграл от •£-

функции

I

по множеству 3)

определяется равенством

[

Ç ели. =

ZL

[

f dM. .

Э

Аѵ

'

Д0.4/

Отметим, что

однозначность этого определения вытекает из леммы

JO.b.

10.1

Замечание. Вся теория

уи - интеграла

развитая в предыдущих пунктах,

для случая yu(.D) <«• , оста­

ется в силе и тогда, когда yjAî)) =• + °°

, за следующими

исключениями;

jjL. - измеримая функция,

ограниченная на

,• может

не быть

у. - интегрируемой на' Т1

. Не имеет места

теорема об ограниченной сходимости.-

Доказательство' несложно и мы его предоставляем читателю.

Ограничимся'лишь~ следующим указанием.

Если ^ А ѵ

^ = <

-

б~- конечное разбиение множества

3)

, то полагая

U А „ і

мы находим,

что

В< с В ^С...

причем все множества Ъ,,

- измеримы,

/х(.ВѴ)<~

при Ѵ = 4

,

ü

U ^ B ^ -

J b

-

Про последовательность \5i^-«s4

обладающую перечисленными

выше свойствами, говорят, что она исчерпывает множество

/ср. с

замечанием 11.4, § 1/. Легко видеть,

что для каждой

исчерпывающей последовательности

уе,

и каждой

функции

JJ-

і+-

интегрируемой на Д>

,

і

$

$ сІМ =

1І.ѴТѴ\ Ç

U M

•

/10.5/

!

J )

'

V -*>oo

/

/ ибо т В, ,^гч^< )ЬачВ> ,-• }

есть

ff— конечное

покрытие

множества 3>

•

/. Соотношение /10.5/ позволяет выводить

свойства

ц. - интеграла, в случае

дііі)) — -ѵоо

, из

соответствующих свойств этого интеграла, по множеству

конечной

^л. - меры, с помощью предельного перехода.

11

. Сравнение интеграла Лебега с иптеп-ишц J'ni,iana.

Напомним определение интеграла Римана.'llpii mow, ради

простоты,

мы ограничимся функциями одиоі; иеэавнсш.'ой переменной.

Пусть функция Ç '. —* RC

задана и ограничена

функций/ на конечном промежутке û = ^ x t R * : û - £ x 6 k ^ .

Обозначим через П

произвольное

разбиение промежутка

Л

то есть, такую конечную последовательность точек

,

что а, = х„ <х, < ... < Х ^ _ , <х„,

.

Положимj

• „ « І - ^ С Г Ѵ ^

- ^ П - І М с І ^ ^ І

/11.2/

числа ^ п

и Ç>п

называются, соответсвенно,ии^Щѳй

и верхней суимой Дарбу, отвечающей разбиения П

. Пусть

\^Ѵ^-<=А

" такая последовательность разбиений,

что

гдв S"Cr\W

^ѵмхя U 4

" - X j

4

- ^

. тогда,

для после­

довательностей \ "ЬПу\

I

\ ^ пѵ \

, соответствую­

щих сумм Дарбу, имеем

Поэтоиу существуют конечныекыепредлыпределыь ^?*#_^К'^--™ -ъv

,

« â ^ ^ v v i & п

причем

-і й S

. Числа -і

н S