Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 82
Скачиваний: 0
Действительно, если множества А\ , Аг |
попарн |
|
непересекаются и JA. - измеримы, то |
|
|
M U А А - И М А ѵ Ѵ і - H U А ^ |
|
|
в силу аддитивности функции X |
, и |
|
> ( и M |
— > О |
|
в силу нормальности этой функции. Следовательно,
Х і ^ к Л = f _ XCA Л
•0=1 |
-5=1 |
( |
10.1.2° Если А - 33jej№HTapflO£ множество, А С Ло , |
||
то |
|
|
Это было доказано в абзаце, следующим после опред |
||
7.3. |
|
|
10.1.3° Пусть |
\ А_э^ |
-^T««IH^JHIW_^^ |
что А С U ^ , As, С |
. Тогда \ ( А ) ^ Г-о~ уи. ) |
|
Действительно, пусть |
> |
|
А ^ А л Л , , А , - А л [ Д . ' |
^ 3 , ^ 1 . |
|
Множества Aj, Аг) --. |
|
^л. - измеримы и попарно непе |
каются, а поэтому |
|
|
так как в силу неотрицательности и аддитивности функции
X I M H M N ) при И с N .
Используя это последнее соображение и рассуждая ка доказательстве предложения 8.3, получаем:
30
l u . 1.4° Д^^дабшс (л -jyijejjHj^_jwMecTB Л и В •
І М А Ѵ \(ВУК< М к ь Ъ ) .
|
Кроме того, .із 10.1.3° и определения 8.1 верхней меры, |
||||||||
вытекает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.1.5° Для любого u ~,шзиещі0£0^шюхества/\ |
, |
|
|
|||||
м м |
^ ^ ч м 1= |
ДСАІ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь нетрудно доказать утверждение теоремы 10.1. Пусть |
||||||||
Л |
- произвольное |
у. - измеримое мнонество, А С А 0 |
( и |
|
|||||
пусть |
/А, - такое |
элементарное множество, |
|
|
, |
что |
|||
и. (.А |
А. Afc"\ < 6_ |
|
I где |
£_ |
- некоторое, |
наперед задан |
|||
ное положительное число. В силу 1Q.1.20, X (А^З |
- |
j L СА£^ |
, |
||||||
а поэтому I И А \ - |
^ |
CAÏ U [ \ |
W |
- * (.А^ 1 I I л ( А ^ Ь и |
(А) ) < |
||||
/ см.10.1.4й/. Прини мая во внимание 10 . 1 . 5°, отсюда получаеы ,
откуда, в силу произвольности £_
10.2. Замечание. Нояно доказать, что класс ^*-
измериных множеств является максимальной <f - алгеброй мно
жеств, на которую можно продолжить заданную меру Стилмьѳса про межутка, с сохранением неотрицательности, аддитивности и нормаль ности, и на котором такое продолжение единственно.
11. Мера неограниченных множеств. В предыдущих построен*
ях условие ограниченности множеств, на которых задана мера, Суще
ственно. Например, при доказательстве полуаддитивности меры эле ментарного множества нами была использована компактность ограни
ченных замкнутых множеств в 1ft . Теперь мы покажем как мож
но освободиться от условия ограниченности.
Пусть Jj- |
есть произвольная функция, заданная на множе |
|
стве |
всех >і - мерных промежутков Д С 1R |
, |
принимающая лишь неотрицательные значения, аддитивная и нормаль ная /сы.п.2/. Такую функцию и по-іроянеиу называем jjepoii Стильтьс промежутка.
Для произвольного множества А ^ положим:
где нижняя грань распространяется на всевозможные системы пром жутков Дѵ_ С ift , покрывающие множество А . Функция
ix. как и раньше, называется верхней мерой, порожденной меро Стилыьеса д<_ . Она принимает значения из расширенной неотри цательной полуоси
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
11.2 / , |
|
|
где |
\ + |
- множество, состоящее из одного лишь |
элемен |
||||||||
та + J*, / для некоторых множеств |
А ^ |
Jx? (А) |
мокет равнять |
||||||||
ся + ОО |
/ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.1 Лемма. Пусть A |
-J^5]^S4ülS.e^HiiS5I£Sl2-5 |
|
||||||||
' |
•« |
Ecjra^cyjinscTByeT |
такойпдшыежуток Д |
, что ДоД _и |
|||||||
|
^ ( А ^ + ^ ( A N A ^ = Д І Д ) |
|
/ и . з / |
|
|
||||||
AuâJS-^S^SSSJlESÏSÎSTiS |
A' |
І содержащего |
мнонество А |
, |
|
||||||
' |
|
+ |
(.Д'^А) = ^ |
І л |
Т |
" " / и.з'/. |
|
|
|||
|
Доказательство. На основании замечания 9.4 и |
||||||||||
теоремы 9.5 заключаем, |
что, для того чтобы выполнялось |
соотноше |
|||||||||
ние /11.3/, веобвдиуо и достаточно, -чтобы для каждого |
L |
>0 |
|||||||||
существовало такое |
элементарное множество А ^ |
Для |
кото- |
||||||||
РОГО |
|
|
l l * ( A * A 0 < £ |
|
/ 1 1 . 4 / |
|
|
||||
|
|
|
' |
- |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть Д/ |
какой-лиоо таме.рныИ промежуток и А 2А , |
||||||||
a |
А^ - такое элементарное множество, что А£ |
С Д |
ц вы |
||||||||
полняется /11,4/. Полагая А^ — A T |
А Д • |
находим, |
что |
||||||||
есть элементарное |
множество, |
что А^С д' |
и, что А * А^ С. |
||||||||
Cl |
А |
А^ |
; |
а поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д*(А * A t ' ) < ' £ |
|
|
|
/Х1.4/ |
||||
По в силу сказанного выше существование, |
для каждого |
£. > О , |
|||||||||
такого элементарного множества A J |
С Д' |
, что выполняется |
|||||||||
/11.4 /, эквивалентно 'выполнению равенства /11.3'/. |
|
|
|||||||||
|
|
В связи с доказанной леммой естественно принять такое |
|||||||||
определение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
11.2 Определение. Ограниченное мнонество А в |
|||||||||
и\ |
называете» |
-jczuejmum, |
если для некоторого про |
||||||||
межутка Д |
, содержащего А , выполняется соотношение /11.3/. |
||||||||||
Неограниченное мнонество Д |
в ІІ^ |
называется |
^ |
-изме |
|||||||
римым, |
если для любого т\. ^мерного промежутка |
Л |
, пересече |
||||||||
|
|
1 |
|
fx -измеримо. Сужение верхней меры у.* на |
|||||||
ние А Г А |
|||||||||||
класс |
-измеримых множеств называется ме^ЦЛе£е^^_^С^илиь- |
||||||||||
еса, отвечающей мере Стильтьеса |А- |
, и обозначается, также как |
||||||||||
и исходная мера промежутка через |
|
jx |
|
|
|
|
|||||
|
|
Из результатов изложенных в предыдущих пунктах /см.теоремы |
|||||||||
S.6, S.7 и |
10.1/ вытекает следующее утверждение: |
|
|
|
|||||||
|
|
11.3 Теорема. Класс j< - д^ые^ишА^шожесм^ет^- |
|||||||||
ется (Г-J5Eë5E°J>-525ë£î5!5eI1 |
все'борелевские множества в ït*\ |
||||||||||
|
Действительно, А * А^ = IAN-At")o (А^ \ A) с ( A £ - A ) u |
|
|||||||||
|
U I A A A J " ) |
, где B'^R^N B |
. Учитывая, |
что |
|
||||||
|
|
|
|
С |
|
|
с |
c |
|
с |
|
|
АСА' |
имеем А ч А^ я А о С Д' ^ At |
) =(А л Д' ) |
^ |
|||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
V [кпА^) |
= S L O A N A t = A - Aj_ |
|
.а поэтому А * А / с |
|||||||
с (A^AWCMA^ I = ААА^.
-33
M£paJeoera - Стильтьеса , дшссыатріваемаі_на ,и -т-
дор^іиьіх^шожествах, сч^но^а^дитивна в следующее. сі.ш
Ai ) А^, л •-• |
-^.измеримые, попарно |
неперееекающиеои |
мно |
||||
жества^ в ft1 |
, XS |
|
|
|
|
|
|
^ U |
А ^ = |
u. CA „] ; |
Д 1 < 5 / |
|
|||
Щ^дтом^іі^м^чдсть /11.5/ ^адна + |
y> |
, .если j i y t |
в правой |
||||
части /11.5/ 5^с2содитсяд или содержит |
члени |
равные |
+ -,»=> |
, и |
|||
об£адм^_т^^лемя часть /11.5/ равда. + |
|
, то.либо^ряд в |
|||||
поелоЙ части /11.5/ сасмдитсн, _либо оодержит члелы равные
+
|
Коли X |
...sjjTb какад^ібо счетно-аддитивная функция, |
|
||||||||||
веданнаяj i a |
|
^ -^иэиеримі« множествах из Ш |
|
>Ji__ |
А (А)=г |
||||||||
-.= |
flj^jnoßoro |
v\ - ыесноз'о іц^иещтка A |
, jro |
A(A't- |
|||||||||
=; ц(М д^гл^любого |
|
|
tyjepjKoro |
мноксства |
А |
Д. Й • |
|||||||
|
11.4. 3 а и в |
ч а н и е. Мы уже отмечали, |
что для |
||||||||||
торых |
у. - измеримых инокеств А |
, |
lu, ( А 1 |
может |
рав |
||||||||
няться + лз . Однако, |
какдап мери Лебега - Стильтьеса обл |
||||||||||||
дав! следующим свойством |
-^іондчности / или |
сг-лііини^г |
|||||||||||
нмти/: jïcjmjwmsecTBo |
A |
ju. -^измеримо, |
то j^ieci'ByeT та- |
||||||||||
са^тр^ледовательіость \hx/\ |
u^ucgnmx: |
|
jurageçys А ѵ |
> |
|
||||||||
чт£ |JAAVW-*> |
|
|
j jjjH -о = ) , г, -.. |
\\_ U ^ , |
As |
||||||||
|
Действительно, |
|
ь качестве A-j |
|
можно |
|
орать, |
например, |
|||||
пересечения ,\ |
/\ |
h^, |
|
, где \ A.j\N'-» - |
такая последо |
||||||||
вательность |
-vi -мерных промежутков, |
чио U^:, |
~ Ш • |
|
|||||||||
|
Отметим, |
что последовательность \ A-J^-J-, |
|
может |
|||||||||
быть построена так, чтобы А( С АХС ... |
|
. В этом случае |
|||||||||||
^(.М — (ліѵѵі |
h. ( А |
) |
, что легко вытекает из счетной |
||||||||||
аддитивности меры .и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
- 34 |
|
|
|
|
|
|
|