Файл: Киселев В.А. Расчет пластин.pdf

а ь

T = ^q{x,

y)w{x,

у)dxdy,

(4.20)

о Ь

Если на пластину

действуют

еще растягивающие

силы

Нх и

Ну, то к работе Т надо присоединить и работу этих сил:

dx +

Н~

J

{ дх

dx

dy.

(4.21)

Упругая энергия пластин на упругом основании V состоит из

упругой энергии самой пластины

и упругой энергии основания Ѵ2 .

Упругая энергия

в твердом теле

определяется формулой

ѵ=

ff* Бх

.ауеу

, °zЕ

2

хху Уху

fj/r Ууг

. ТССѴЕС^

jdxdydz.

2

I g

В теории пластин было положено:

°"* = 0;

т „ = 0

и T W = 0.

Следовательно, для пластин

а Ь Л / 2

2

У

f i -П I

dxdydz.

Учитывая, что

0

0 —ft/2

получим

т а

д = Оуз д ,

(см. 3.2), (3.3) и (3.26),

? 6

К2

Г о

ff*

I

fftf

Ei

Е2

j

G

dtofyd«.

(4.22)

0 0

— Л / 2 L

Ранее имели:

fi* г

d * W

(3.4);

(4.23)

1—Jit Ц2

\ ЗЛ2

3»*

0"„

£2

2

!

d2w

14

)

, см. (3.5);

(4.24)

1— Pi Цг V

см. (3.26).

(4.25)

a

ь

д2ш \ 2 + D2

д- w

д2 w

V

Di

ду-

о о

дх2

дх2

ду2

j д2ш

\ 2

dxây,

(4.26)

V дхду

где

Dx

=

E1h*'.

12 (1 — vil ( .t2 );

D2

= E2li3

: 12 (1 — \ІІѴІ2);

DKV

= Gh* : 12.

»

Для изотропной

пластины

при DX

= D2

= D3

= Eh3

: 12 X

X (1 — p?) и D K p

=

Gh? : 12 =

D (1 —

|A)

: 2

будем

иметь:

a

b

,2 . / а а ш \ г

92 ш о2 да

2

J J |Д дх2

j ^ 1

1

r

Ô V

д # 2

о о

Ô 2

Ol

Л 2-

dxdy,

(4.27)

ôxôf/ )

или в другом

виде:

a b

•w , d2w )\ 22 - 2 ( l - p . ) x

5 о

fo2

ду2

X

Ô2 ГІУ

Ô2

DU

\

9 2

w

^]dxdy.

(4.28)

dx2

ду2

дхду

Упругая энергия

основания

с двумя

коэффициентами

постели

a b

' w .

d2w

V.

W

dxdy.

(4.29)

дх2

ду2

о о

Теперь полную

энергию

системы

(4.19)

можем

записать

так:

a

ь

£/ = ^ +

T = F I

+ K a - f T + 7'1 = - i - J

]

од:2

о о

. „ ( d2w \ 2

, o

n

d2w

d2w

. , n

d*2

ô</2

d % ) 2

\ d x d l

J

+

5*

123

о о

V дх2-

ду2

0

0

0

0

0

0

{X, у)= 2 °ІФІ(Л'> У)>

(4.31)

0 о L

\ « = I

'

\ ' = 1

/

+ 4 D « » ( 2 - S ) l

" ^ + т Я \c' ( 2 * • ) ' -

\ « = i

/ J

о о L \<= i

/

dxdy -f-

+ \

\q{x,

y)[ У

a^Adxdy.

(4.32)

о

о

\ ' = i

/

:0:

. ^ — 0 ;

dU

= 0.

(4.33)

d U

дап

дах

да.

Составим

в общем

виде

производную

dl)

= 0 :

дак

д*<рк

0 0 I

\ f = l

/

Ѵі = І

dß

.*d

1

дх2

дФ

\ і

=

1

1 дФdiß

/

дх2

+

а

b

+ 4 D « » 2

( 2 - S )

Ï S | ^ + г И H ( 2 <- * ) *

\ « = 1

^

J

0 0 l

X i = I

/

2

«

-

^

+

2

*

^

ft+|2"".

X

V» = 1

» = i

x f

^ Ф Л

i

0 0

V = 1

/

а

6

i

r

f

J

2 (І a

Lif)

^ d

x

dy

+ f

J

*

• y ) 4 7

*

* =

0

0

0

V ' =

1

/

ô o

при

k =

1,

b

о

V' =

1

2,

...,

n.

Развернем

полученное

выражение

по отдельным

слагаемым

я ь

+ D t

\î\\Dl*2L..*2±

I

l_J J-

L

ô*2

од:2

Т

2

ô(/2

"

9(/2

loо о

V

5A;2

<ЭІ/2

ф 2

dx2

/

1

ол: öt/

дхду

1 1

4 ,

1

2

V дх4-

ду2

J Y ,

t

2

l

од:2

^

ф 2

; т

.

дфі

_

дфь

дщ

dx dy -f-

дх

\ ду

ду

а

6

+ ^q(x,

y)q>hdxdy

= 0

при

Л =

1, 2, ..., /г.

(4.34)

О О

Окончательно

в

канонической форме

ckla1

+ ckiaa

+ ... + cknan

+ Ckp

= 0

при

k =

1, 2, ..., и,

(4.35)

где

а

Ь

ô*3

дд:3

ду2

ду2

•И(

д3 Фі

dд22 фФй 1 D

д 2 ф, . д 2 ф Л

о О

<Э ф;

,

д

ф;

2

+ £>і|-4

2

ь

UÏ2

ду2

'

Ô,2

дх2

X

Фй

С2

' a» « P I .

о г ф ;

дхді/

2

дх2

< f y

2

Офі

Офй

од:2

ф 3

дх

(4.36)

CKP

=

а

u

^q(x,y)<phdxdy.

(4.37)

о о

По

структуре

формулы

(4.36)

видно, что коэффициенты

chi и

cih обладают

взаимностью,

т. е.

ак

= атп

и

<pk = sin

тпх

.

ппу

sin

b

di =

Clm*n*

m* пх .

n* ny

и

ф — sin

sin