Файл: Киселев В.А. Расчет пластин.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.08.2024

Просмотров: 111

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Заметим, что, как указано в [19], при моментных нагрузках двойные тригонометрические ряды при вычислении поперечных сил и реакций опор приводят к расходящимся рядам. В таких слу­ чаях надежнее пользоваться • методом расчета, излагаемым в сле­ дующем параграфе.

§ 11. Расчет прямоугольных пластин на упругом основании с двумя коэффициентами

постели, шарнирно опертых или со скользящими защемлениями на двух противоположных сторонах при любых опираниях остальных сторон

Изложим решение Мориса — Леви в простых тригоно­ метрических рядах с дополнительным его развитием и обобщением на скользящие защемления пластины и на упругое основание (рис. 33).

1. Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение пластины на упругом основании (см. 2.27)

Ö4 w |_ 2 ô'1 w , d 1 w r

 

Ci w

 

dx*

dx2diß

diß

 

D

 

 

Ci

l d2 w

. ô 2

w \

_

 

q (x, y)

(2.89)

 

D~ [ 'dx2'

 

ly2)

~

 

D

 

 

 

 

Его решение будем искать

в виде:

 

 

 

 

 

 

w(x,y)=

 

2

XmYm,

 

(2.90)

 

 

 

 

 

m =

0

 

 

 

где Хт — функция

только x,

a Ym

— функция только у.

 

Рассмотрим две

функции:

 

 

 

 

 

 

а)

Х =

 

sin

ЕЕ,

 

(2.91)

 

 

т = 1, 2,

3, . . .

, оо

а

 

Эта функция соответствует шарнирному опиранию сторон пла­ стины x — 0 и x = а, когда на опорах прогибы и изгибающие момен­ ты равны нулю (рис. 33, а);

б)

Хт=

c o s

— ,

(2.92)

 

m = 0 , 1, 2, . . . , оо

а

 

А эта функция соответствует скользящим защемлениям сторон пластины при х = 0 и х = а, где углы поворота и поперечные силы равны нулю (рис. 33, б).

40

Нетрудно убедиться в том, что при таких функциях будут выпол­ нены указанные граничные условия на сторонах пластины х = О и x — а.

Подставляя

(2.90) по

очереди при Хт = sin

и х„

:cos

в

уравнение

(2.89), получим:

 

,

при

ѵ

. тпх

 

а)

X m = sin

 

 

 

2 ( ^ V - 2 a » M ^ + X Ä , y j s i n ^ = - 5 i ^ ;

 

 

ш = 1

a

D

, ч

 

V

тпх

 

б)

при

A m

= cos

 

 

 

 

а

 

 

 

S

[F,',7-2af„ Kl, + U Ym] cos

= - ïlbJÙ ,

 

m = 0

a

D

где

2 « - = 2 ( ï ) ' + ? ;

(2.93)

( 2

. g 4 )

'

v

 

< 2 ' 9 5 >

«' = (т)'+т+т(т)= -

<2«>

Разложим и действующую нагрузку в одинарные ряды:

s

V -

• тпх

 

а)

при A m

= sin

 

 

 

а

 

 

 

со

 

 

 

<7(*.0)= 2 < 7 m ( i V ) s i n ^ ,

(2.97)

m = 1

где

a

'•

Qm (y)=

—

\q

(x, y) sin ^L*dx;

(2.98)

б) при

A"m = COS mnx

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Kx,y)=

2

? m ( f / ) C O S ^ ,

(2.99)

 

 

m = 0

 

a

 

где

 

 

 

 

 

 

u

 

 

a

 

(У) = -

\ q (x, y) cos

 

9 ;

Q/) = — f ? (*, y) dx.

(2.100)

41

Теперь

на

основе

выражений (2.93)

и (2.94) с учетом (2.97)

и (2.99) можем написать для каждого

члена разложения:

а)

при

Xm

= sin-

 

 

 

 

 

 

У m — 2с£,и Ym -f- Am Yn

Ят (У)

(2.101)

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

, х

ѵ

 

тлх

 

 

б)

при

A m = cos

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y m

2а,"„ Ym - j - %п, YTI

Яm (U)

(2.102)

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

Как видно, уравнения (2.101) и (2.102) по форме одинаковы, а по­ тому далее будет рассмотрено одно из них, а именно (2.101). Полу­ ченные же результаты легко могут быть приспособлены и для уравне­ ния (2.102).

2. Заменяющие (внутренние) силы пластин

В табл. 2 приведены выражения заменяющих (внутрен-

ч

 

 

 

ѵ

=

•

 

тлх

ѵ

л т

тпх

.

них) сил пластины

при л т

 

sin —— и

= cos

Далее нам часто придется применять выражения

изгибающих

моментов Mу

(х, у)

и приведенных поперечных

сил Ѵѵ

(х, у).

 

М„(х,

 

у) =

2

 

 

Мт(у)

s'm тпх

 

(2.103)

 

 

 

 

 

т= 1

 

 

а

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mym(y)=-D

 

 

Y'm~]i^f)

Y

 

(2.104)

 

Ѵу{х,

r / ) = 2 .

Vym(y)sin тлх

 

(2.105)

 

 

 

 

 

m= î

 

 

a

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

( mn

о

 

 

 

Vsm(y)

 

=

-D YZ-s

 

(2.106)

 

 

"Y'm

 

3.

Решение обыкновенного

 

 

 

дифференциального уравнения (2.101)

 

а)

Решение

в

обычной

форме

 

 

 

Решение

уравнения

(2.101) представим так:

 

 

 

 

 

Y т

— Y m -f- Y m »

 

 

(2.107)

42

 

 

 

 

Т а б л и ц а 2

 

 

В разрешенном

виде

 

В общем виде

„

. тлх

„

mяд:

при

X

= s i n

при Ä T O =

COS

 

 

а

т

а

1 Изгибающие и крутящие моменгтШ

/ d2w

d2w \

I d2w

d2w \

d2w

/ n * - - D ( l - ( i )

со

 

 

/тлу

„1

тлх

m= 1

J

 

 

 

2

4 s i n

V

m = 1

 

 

оо

 

тпх

X i

/ т я Л ,

- о н - , » 2

т Г —

—

m = 1 4 '

2. Поперечные силы

^

^ ( daw i

d'Jw \

 

 

<*х~~°[дхЗ

+

дхду2 )

,

m = I

 

 

 

 

оо

т = 0

- ( T j ^ + ^ J C ° S

—

 

 

 

 

 

 

 

со

'

„

(тлу-

1

тлх

 

 

Уm — (.i

—

 

Y m cos

 

т = 0

 

 

\

a

J

J

a

 

 

оо

(тл\

,

т п *

ö (1—J.0

•ѵч

У

—

У т Sin

 

ОО

- D 2 т

М ѵ Н ' , п ~

В общем виде

п

^ / d3w i

d3w \

Qy

D [ d y 3

~^дх2ду)

' d3w — d3w

Ѵ к = —D

дх3 + 8 дх ду"-_

 

 

 

 

 

 

Продолжение

табл. 2

 

 

 

В

разрешенном

виде

 

 

 

 

 

„

.

тях

 

 

 

„

 

тлх

 

 

при X _ , = s i n

а

 

 

при

X „ = c o s

 

 

 

т

 

 

 

т

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

тлх

СО

 

 

 

 

 

 

 

 

, ,

,

/

т я Д 2 ,

"1

тлх

 

 

 

s i n

 

У m

—

 

Yin

c o s

 

т= 1

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

т = 0

 

\

а

.

а

3. Приведенные

поперечные

силы

 

 

 

 

 

 

o o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m = 1

 

'

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' d3w

d3w

OO

 

 

 

 

 

Vy=-D

 

 

 

 

 

 

dy3

- j - e дх-ду

—D £

Y m — e l —

Y m s i n

m = о L

U У J

a

 

 

 

m = I

.

0

 

 

 

 

 

 

 

 

р и м е ч а н н е , Д л я изотропных пластин е = е = (2 —р,), а дл я ортотропных они различны (см . т а б л . 5).

Смотрите также файлы